特殊函數有什麼用？

01-30

如題

主要的用處：給像我這樣的缺乏抽象思維能力又想做數學的人一碗飯吃…

希望更多人能對特殊函數感興趣，加入科研不歸路~~~~

在正式回答之前，我先推薦一本很好的書：

這本書比較新，包含了大部分主要的特殊函數，並且採用了標準的記號。作為寫文章時候的參考讀物非常好。記得去年發現華師大的圖書館中有這本書，還莫名激動了一陣。

1. Gamma函數和Beta函數的應用已經在：Beta 函數和 Gamma 函數有什麼用？ - 羅旻傑的回答包含了。

2. 超幾何函數（Hypergeometric functions）是我目前最熟悉的一種函數。從古典的途徑來看有：

a. 單變數：

Gauss hypergeometric function,

應用：

作為 Second order differential equations的解。
表示橢圓積分（elliptic integrals）；
在模形式（modular forms），Theta functions, Ramanujan 的一些理論中的應用。

Generalized hypergeometric function,

應用：

Clausens Identity. 在modular forms和 $frac{1}{pi}$ 展開式中的應用。今天，我導師邀請Heng Huat Chan教授來系裡報告時就提到了這個重要的等式，並得出了非常深刻的結果。
Bieberbach conjecture 參考：Askey

b. 雙變數：

Appell hypergeometric functions - 這類超幾何函數一共有四個。

應用：（直接看文獻吧）

Recursion formulas for Appells hypergeometric function $F_2$ with some applications to radiation field problems.
Generalized bivariate beta distributions involving Appells hypergeometric function of the second kind （數理統計）
Solution of Abel-type integral equation involving the Appell hypergeometric function （構造新的分數階積分方程，以及在幾何函數論（geometric function theory）中的應用）

Horn hypergeometric functions - 一共有 $G_1, G_2, G_3, H_1, cdots, H_7$ 十個。

Kampe de Feriet functions.

c. 多變數：

Lauricella hypergeometric functions - 這類超幾何函數也有四個，是Apell超幾何函數的推廣。

應用：

Uniformization by Lauricella functions - An overview of the theory of Deligne-Mostow
Legendre Hyperelliptic integrals, $pi$ new formulae and Lauricella functions through the elliptic singular moduli

Generalized Kampe de Feriet functions - 這類函數是由 Srivastava 等人提出的。

以上a,b,c包含的超幾何函數都是最為常見的，而在歷史上也出現過三個變數的超幾何函數，但是後來很快就被跟一般的形式所包含了。這裡需要提醒一點（以後也會不斷提醒）：特例是十分重要的，有時候深刻的結論就是出現在特殊的情況下。

包含多變數超幾何函數的參考文獻推薦：

1. H.M. Srivastava, H.L. Manocha, A treatise on generating functions.

我有幸和H.M.Srivastava先生合作過幾次，他在特殊函數，分數階微積分，複變函數論等領域都有很大的影響。雖然，他並不是頂級的數學家，但是由於他在多個領域都留下了廣泛的足跡，所以實力還是非常強的。

2. H.M. Srivastava, P.W. Karlsson, Multiple Gaussian Hypergeometric Series.

從個人的角度來看，這是一本非常好的書（良心之作）。它列出了所有我們常用的超幾何函數的形式，收斂範圍及其證明。我們知道多復變數冪級數的收斂範圍的確定是非常困難的，然而這本書已經詳細的列出了這些必要的東西，讓我們在做研究的過程中不必特別糾結收斂性的問題。

3. H. Bateman, Higher transcendental functions Volume 1-3.

經典之作，包含大量一般專著中包括一開始的手冊中都不沒有的重要結論。感覺即便是研究數論的人也應該備一本。

4. B.C. Carlson, Special functions of Applied Mathematics

我是最近才開始關注Carlson的作品的，他從非常不同尋常的角度來闡釋特殊函數的。一些觀點，例如，他把Gamma函數直接視為Euler測度：

========================= 休息一會，稍後更新 ==========================

建議學下電動力學。。。

題主去學個數理方程啥的唄

建議學一下四大力學

特殊函數一般都能構成一些常見PDE的基本解,線性組合一下就變成全部解了.

總的來說，作為某些無法被初等函數表示的積分或者某些無法有初等函數解的非線性微分方程，我們通常都用這些函數來描述。比如伽馬函數，又比如貝塞爾函數。

這些函數雖然在數學上十分「詭異」，但是在物理學、統計學等學科中有重要的用途，所以仍然被拿出來研究。

註：初等函數

初等函數是實變數或復變數的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數，經過有限次的四則運算（有理運算）及有限次複合後所構成的函數類。

建議學一下任何一門跟偏微分方程有關的學科

特殊函數，通常是與各種代數結構在函數空間里的representation有關。

經常是eigen vector。

比如球鞋（諧）函數就是拉普拉斯算符在C(S^2)上的eigen vector。

全體復值三角函數，可以視為以函數間的pointwise product 來實現S^1群到R（+）群上的同構。

貌似小波分析里的那些正交基也是和什麼representation有關。

物理理論的自洽性，經常要依賴於群表示在函數空間上。所以物理裡面出現特殊函數。

如果沒記錯，這張最有名的圖片，48個銅原子圍成這個圈裡面那個波的圖形就是貝塞爾函數

隨便舉幾個用途：

1、作為一些重要的方程的解，比如Bessel函數。

2、作為一些有趣的函數的延拓：比如Gamma函數。

3、自然出現的或者技術上需要的：比如各種Zeta函數，各種L函數，各種橢圓函數。

4、工程里或其他應用需要的：比如sinc函數。

整個電動力學，量子力學就是這些函數在開會。

有些特殊函數在量子力學中有著重要應用。平方勢，線性勢，電磁場等研究物理問題可以轉化成對這些特殊函數的求解。

特殊函數還是很有用的。電磁場的數值計算中一些方法的數學基礎就有用到特殊函數。

用來考試的時候問到簡答題諸如某某某種情況對不對時舉反例。。。

用來構造反例的，例如維爾斯特拉斯函數。

這些函數的作用並不是直接體現在我們通常生活的範疇，所以即便有人講了，也不會明白。