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是否存在f(x)使得存在不可數個a，有af(x)=f(ax)成立並且存在a有af(x)≠f(ax)？

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是否存在 f:A ightarrow B, A subseteq mathbb{R}, B subseteq mathbb{R} 使得

（1）存在不可數個正實數a， forall x in A :af(x)=f(ax) 且 x in A implies ax in A

（2） exists a in mathbb{R+} ,x in A:af(x) eq f(ax), ax in A

條件（1）直觀的看就是一個函數的圖像放大a倍，可以完全和原來的圖像重合。要求這樣的a有不可數個。

條件（2）直觀的看就是在某些放大倍率下不重合。

舉例：

對於 f(x)=cx ， forall a,x:af(x)=f(ax) 成立，條件（2）不成立

對於 f(x)=x*sin(ln(x)) ，對 a=e^{2npi} 有 af(x)=f(ax) ，此時a只有可數個

取集合S,S滿足:1:S不可數,2:S關於加法構成群.在R定義等價關係:a~b,若 a-bin S .定義 g(x)=x_a , x_a 為x在上述等價關係中的代表元.可以驗證f(x)=xg(ln(x))對所有 ain e^S 成立f(ax)=af(x).也可以驗證對任何 a otin S f(ax)=af(x)不成立.

S的構造:Uncountable set of irrational numbers closed under addition and multiplication?

構造一個簡單的函數，符合這倆條件

f(x)=0,x≥0

f(x)=-x,x&<0

對於一切a&>0,符合條件，存在a&<=0不符合條件。。。。

仿照實數的構造過程我們可以構造類cantor集，但是類cantor集不是乘法封閉的，這個問題的本質困難在於能夠構造兩個實數 R 的不可數子集 X,Y 乘法封閉且 X cap Y=Ycap(X imes Y)=Xcap(X imes Y)=emptyset ,其中 X imes Y={x imes y|xin X,yin Y} .

當然利用ln函數我們可以把乘法封閉的問題轉化為加法封閉的問題，但是總之key point是我們需要構造一類集合，在不可數的基礎上同時滿足一些運算封閉性。

在做完備化的過程中加法是從低空間遺傳上來的，而一些數論上的性質是一定會被加法保持的，比如一種實數不是smooth的這種性質，就是說能夠被有理數逼近得充分好，如果寫成小數形式就是說會出現很長很長一段0。從這種性質就能夠構造出兩個集合他們互不相交而且均加法封閉，比如只需要定義一個衡量光滑程度的範數。

這裡這個smooth的性質是有關於sieve theory做估計的那個，標準定義是用連分數展開定義的。

待我強行構造一個出來(???ε???)

設集合 mathbb{M} 滿足

  • mathbb{M} 是不可數集；
  • forall kinmathbb{Z} ， mathrm{e}^{k} otinmathbb{M} 且 0 otinmathbb{M} ；
  • mathbb{M} 對乘法封閉；

令 mathbb{A}={x|x=mathrm{e}^{2k}m,minmathbb{M},kinmathbb{Z}} ， mathbb{B}={x|x=mathrm{e}^{2k-1}m,minmathbb{M},kinmathbb{Z}}

（ mathbb{M}subseteqmathbb{A} ， mathbb{A}cupmathbb{B}=varnothing ，其中 mathrm{e} 為自然對數之底）

設定義在 mathbb{A}cupmathbb{B} 上的函數 f(x) 為

則易知對於 forall ainmathbb{M} 有 f(ax)=af(x) ；

而對於 mathrm{e} ，若 xinmathbb{A} 則 f(mathrm{e}x)=0 eq mathrm{e}x=mathrm{e}f(x) ；若 xinmathbb{B} 則 f(mathrm{e}x)=mathrm{e}x eq 0=mathrm{e}f(x) .

第一感覺就是分形。或者對數螺線。

Dirichlet 函數

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