如何理解隱函數的定義？

01-30

顯函數是形如 $[y = sin x,y = ln x + sqrt {{x^2} - 1} ]$ 的函數，
顯函數的特點是函數（因變數）的符號 $y$ 在等號的左邊，含有自變數的式子在等號的右邊。

但是有一類函數卻不是這麼表示的，比如 $[x + {y^3} - 1 = 0]$ ，
上述等式中的 $x$ 與 $y$ 也具有函數關係，也就是一對一或多對一的關係，但是並沒有把函數和自變數分開寫在等號兩邊。
也就是說，有些函數關係由某個具體的方程（比如 $[x + {y^3} - 1 = 0]$ ）給出，不是我們通常看到的 $y=f(x)$ 的形式，注意這個方程依然使 $x,y$ 之間具有函數關係，為了和顯函數區別，就叫做隱函數。
之所以不把隱函數寫成顯函數的形式，比如把 $[x + {y^3} - 1 = 0]$ 改寫為 $[y = sqrt[3]{{1 - x}}]$ ，是因為有些隱函數改寫成顯函數非常困難或不可能。

先看二元函數的情況。我們用一個平面近似地代替 $f(x,y)=z$
則在該情況下 $f_x,f_y$ 分別是如圖中向量所示
可以看出來，在這個很小的範圍內， $x$ 的增加將導致 $z$ 的減少， $y$ 的增加將導致 $z$ 的減少， $x$ 的增加將導致 $y$ 的減少。

用公式表達就是 $f=-frac{dy}{dx}=-frac{frac{dz}{f_y}}{frac{dz}{f_x}}=-frac{f_x}{f_y}$
這個模型可以套用在任何位置、任何偏角的平面上。
這是因為，當 $x,y$ 對 $z$ 的增長、減少作用相同時，由於 $x,y$ 的正方向之間只差90°， $x$ 與 $y$ 也無法是正相關的。

同樣，對於三元函數 $F(x,y,z)$ ，由於 $x,y,z$ 兩兩之間的夾角只有90°，所以
$frac{partial z}{partial x}=-frac{F_x}{F_z},frac{partial z}{partial y}=-frac{F_y}{F_z}$

當維數增加到4時，情況稍微複雜一點，我們需要兩個函數。
同樣，對於兩個四元函數
$F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)$
同時滿足

$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$
$G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$
則有
同樣， $frac{partial u}{partial x}$ 和後面那個式子的上下順序是相反的
這裡的雅可比式（Jacobian）是

這裡的 $frac{partial(F,G)}{partial(u,v)}$ 只是一個廣泛的概念，表示 $F$ 既要求 $u$ 的偏導數，又要求 $v$ 的偏導數。

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