連續激光束在內側都是完美反射的長方體盒子中遍歷所有點所用時間？

01-31

想到的一個趣味問題：給定邊長為a，b，c的長方形，入射角度,入射位置，何種情況下可以遍歷長方形內所有點？可以遍歷的情況下，可否給出光線軌跡的通式，或者遍歷耗時的通式？大神有思路也可以聊聊！

這是數學問題還是物理問題？物理上激光束是高斯光束，無窮遠處光斑會彌散得無窮大... ╮(╯_╰)╭

先擺結論：不可能。

不妨簡化一下，不說長方體，說正方形，邊長都是1 的2維。

這個問題就是給定y=kx，到一個(a+c,b+d)的點，a,d都是整數，c,d都是(-1,1)的實數。（把一個點無限鏡面反射形成的點距）

對於任意一個給定的k，c，d（k是給定的，但是cd要取滿，可以放寬條件改成都是任意給定的），總能找到符合條件的ab滿足方程k=(a+c)/(b+d)。

這個方程能不能總成立呢？不能。

比如啊，k=3,d=0.5,c=根號2/2，這個方程就不能找到整數ab啊。

換成你的話就是y=3x的光學在（1,1）單位鏡面中反射永遠通不過（1/2,根號2/2）這個點。

總之這個方程不是很好不可能取遍所有點。

改成有理數點也不行。

比如，k=3,d=0.5,c=17/91,移項以後就是3b-a=17/91-3/2,左邊肯定是整數啊對吧

就算是k成為無理數也是沒有辦法取遍所有cd的

所以題主，放棄吧！！

（公理化證明還是留給別人吧，本人沒學過數論……）

update：

這個問題我又想了一下，改個條件這個題會有趣的多：假設光寬度為ε，當ε越大，t就越小；我不確定ε趨近於0是否t可以收斂，但是可以做出ε-t的函數，取個足夠好的點說不定這個問題可解。

同義轉化成一個問題：

在直角坐標系中，一個斜率為k(k＞0)，截距為h和h+ε，（h∈（-k-1,k+1），ε為給定小量）的平行矩區域中的整數點集合A。

取A中橫坐標最小的一個那個點A0（h）(A0是 h的函數)

再取A0（h）中最大的那個A0max（當h在定義域取遍時），當ε趨近0時，看看A0max有沒有極限收斂。

這個需要編程，有會的能幫忙跑一下嗎？

如果純理論考慮，的確是個數學問題，答案很簡單。能照亮的點在其表面至多稠密，但不連續，所以不是每個點都可以被照到。稠密是指在任意小的區域里都可以找到被照到的點。稠密這個概念很好理解，比如說實數軸上的有理數就是稠密的，任意區間都可以找到有理數，但有理數不是連續的。另一種解釋方法，就是說明可數基數和不可數基數這個問題。還是舉這個例子，有理數的個數，是無限多的，我們吧這個無限叫阿列夫0，代表可數基數，說明它可以和自然數集一一對應;但實數更多一些，雖然也是無限多，我們吧這種無限叫阿列夫1，是比阿列夫0大的，元素個數分別為這兩個基數的集合也沒法一一對應(自然數無法和實數一一對應)。空間中的點數目是阿列夫1，而照到的點卻可以用反射的次數來對應，所以是阿列夫0，當然沒法照到所有的點了。題主要求的時間也是求不出來的，畢竟光速是有限的，而這是一個無限的過程……

固定長方形中的任意一條線段，稱為 $L$ , 則 $L$ 上有不可列多(uncountably many)的點