纏中說禪科普哥德爾定理

本文系纏中說禪與數學網友論戰時發表於強國論壇

原標題：把哥德爾定理和羅素悖論聯繫起來就是無知的表現

最近有幾位不死心，總是想用哥德爾不完全定理抓小女子馬腳，可惜這幫人自己不懂，又找一些亂七八糟的人，什麼所謂的印度專家、蹩腳的科普作家。今天下午小女子沒事，就用盡量通俗的語言和這幾位上上課，但小女子從來沒有當過老師，更沒教過幼兒園，所以有什麼不耐心的地方就先請各位小男孩原諒。

纏中說禪講課，由於起點太高，往往在切入的時候有不清晰的特徵。比如108課前16課和後面的課程相比，更像是心法傳授。

但小女子無論如何沒有耐心從嬰兒班的集合概念說起，所以有關集合的問題就不說了。所謂羅素悖論，就是談論有關所有集合的集合時出現的問題。因為在羅素悖論發現之前，人們都是隨便談論集合，羅素悖論指出這樣的談論會引發矛盾。而羅素悖論只要通過對集合公理化的方式就可以避免，其主要的出發點就是不允許談論羅素悖論里涉及的諸如所有集合的集合之類的東西，在集合公理化里，集合再不是一種無須定義的東西，而是被一大套公理所規定的東西，在這一大套公理之下，羅素悖論就不再存在。所以說，羅素悖論並不是什麼大不了的事情。

羅素悖論，通俗例子是理髮師悖論。集合的集合導致語言的表達出現漏洞，規避後便沒有了繼續探究的價值。羅素悖論，在數學發展史上，不會被過多提及。

而哥德爾不完全定理的背景和羅素悖論根本不同。現在的人一般只知道哥德爾不完全定理，但有一個哥德爾完全定理可能知道的人不多。這個定理主要是證明了一階謂詞系統的完備和無矛盾。不太嚴格地說，完全就是完備加無矛盾，完備就是在這個系統里的任意一個命題都是可判斷的，也就是說可以說出真假；而無矛盾就是這個系統不能推出任何兩個相反的命題，一般都可以歸結為推不出1=0這樣的結論。而哥德爾完全定理就證明了一階謂詞系統就是一個完備和無矛盾的系統。

「走勢必完美」的「完美」也可以適當參考這裡的「完備和無矛盾」來理解。

由於非歐幾何的出現，使得數學系統完備和無矛盾的證明變得十分重要，而通過一大堆人的努力，這種東西都可以歸結到算術系統的完備和無矛盾性上來。所謂算術系統，對於一般人可以大概理解成就是整數和加法運算（乘法和減法都可以通過加法定義，對於整數環，除法可以不考慮）。

這種歸結叫什麼來著？等價轉換？拓撲思想？

也就是說，只要證明了算術系統的完備和無矛盾性，整個數學，包括整個科學（因為物理學其實也是可以公理化的，本質上是數學的一個分支）都有一個嚴格的基礎。由於一階謂詞系統就是一個完備和無矛盾的系統，而算術系統是非形式系統中最簡單的，整個世界就看這最後一步了。可惜成也蕭何、敗也蕭何，竟然又是這個破哥德爾，他竟然證明了任何一個包括了算術系統的非形式系統都是不完全的，也就是說完備加無矛盾不能夠同時成立。這個傢伙的可惡在於，他首先點燃了全世界人的希望，然後再把這個希望毀滅給全世界看，雖然這樣使得愛因斯坦也對他必恭必敬，但最後他好象是餓死的，也算天網恢恢了。

這叫先喜劇，後悲劇，更顯悲劇之悲，比上帝死了還令人絕望，哈哈

由於這樣，把數學歸於形式系統，也就是邏輯的想法徹底破滅，反而使得大家明白，邏輯只是整個數學遊戲的一部分，邏輯有無數種，只是每個人的愛好不同。例如有些數學家就不承認實數和排中律，而這並不說明他們比承認實數和排中律的人古怪，只是愛好不同。當然，大多數人都承認實數和排中律，因為有了實數和排中律，這個遊戲好玩很多，如此而已。

資本主義也有無數種，只是每個區域的形態不同。

更重要的是，上帝不存在了，即使在一個局部的非形式系統中，上帝也不存在。任何一個非形式系統，或者有不可判斷的命題、或者有矛盾的命題，這和能力無關。有些一知半解的人說什麼數學不嚴密了，什麼什麼喪失了，其實根本就不明白什麼回事。數學依然嚴密，只是上帝不存在了，全知全能不存在了，如此而已。

纏中說禪這句話針對的是這本書：數學：確定性的喪失_百度百科

在數學的維度，否定上帝存在，否定全知全能，勝過一切哲學。

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