和（huó）不開的面

01-30

有一個球形的麵糰，有一位和面高手和和，有一位不會和面的面面。

面面把球水平轉了一下（下圖左）。

和和：你這樣只轉一下是不行的，中間軸不動，面沒有和開。

面面接著又把球垂直轉了一下（下圖右）。

和和：你這樣還是不行，球心不動，面仍然是沒有和開。

面面：那你只要不扯斷麵糰，不將麵糰粘連，而且最終還把麵糰成同樣大小的球體；那麼，一定還至少有一個點還在原來位置！所以你也沒有把面和開！

和和：∑（?〇О〇）真…真的嗎!?

面面：是的！因為——

布勞威爾不動點定理（Brouwers fixed-point theorem）

$n$ 維歐氏空間中，緊緻凸集上映到自身的連續映射 $f$ 至少有一個不動點。即，存在一個點 $x_0$ ，使得 $f(x_0)=x_0$ 。

等等，什麼是「凸集」？

（簡單地說）在 $mathbb{R}^n$ 中，如果集合中的任意兩個點相連所得到的線段(上的每個點)也在該集合內，則稱該集合為凸集（convex set）。即若 $x,yin A$ 則對於任意 $0leqalphaleq1$ 有 $alpha x+(1-alpha)yin A$ 。

例如，二維平面中圓形和矩形都是凸集，但環形和馬蹄形都不是凸集。

那什麼是「緊緻」？

「緊緻"就是所有開覆蓋都存在有限子覆蓋，所以得先要解釋——

什麼是「開集」？

由於討論的是 $mathbb{R}^n$ 中的凸集，所以這裡只介紹 $mathbb{R}^n$ 中的開集：

設 $A$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一個子集。如果 $A$ 中的每一個點 $P=(x_1,x_2,..,x_n)$ 都有一個以該點為球心的小球（等同於 $P$ 的鄰域neighbourhood）包含於 $A$ ，即存在 $delta>0$ 使得 ${(y_1,y_2,..,y_n)inmathbb{R}^n| (x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2<delta^2 }subseteq A$ ，則稱 $A$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的一個開集（open set）。

例如：在 $mathbb{R}$ 中，開區間都是開集；開集都可以表示成可數個（這個概念以後再解釋吧……||- -）兩兩不相交的開區間的並集；閉區間都不是開集；半開半閉區間都不是開集。

繼續解釋「緊緻」

設 $Xinmathbb{R}^n$ ，若 $C$ 是開集的集合且滿足 ${displaystyle X=bigcup _{xin C}x}$ ，則稱 $C$ 是 $X$ 的一個開覆蓋（open cover）。如果 $X$ 的每一個開覆蓋 $C$ 都存在一個有限子集 $C_1subseteq C$ 使得 ${displaystyle X=bigcup _{xin C_1}x}$ ，則稱 $X$ 是緊緻的（compact）， $C_1$ 稱作 $C$ 的有限子覆蓋。