未竟稿：希爾伯特空間

作者註：本文是最初作為這一系列文章中的一章，後來因為閱讀的對象是一個初中小姑娘，考慮到可能超出她接受能力，所以匆匆結束了這一部分內容，沒有拿給她看。因此本文不嚴謹之處可能甚多。歡迎大家斧正。

前面我提到，量子力學中粒子的狀態是由所謂的「量子態」-波函數來描述的，而它的可觀測量，例如動量和位置，往往是不確定的。根據量子態的不同，人們可以預言，如果我們對它的一個可觀測量進行觀測，可能會得到什麼樣的結果，每個結果出現的概率是多少。而每一次觀測，都會使得它的波函數突然地、隨機地坍縮到某個狀態。如下圖所示：

在馮諾依曼定義的量子演化第一類過程中，我們簡單談到了波函數坍縮的問題，並且談到了測量在量子力學中的重要地位和奇特之處：測量不僅僅是獲得了系統的狀態，而且它創造了系統的一個狀態。而這個狀態的出現，是完全隨機的。這就意味著，我們在對一個系統進行測量之前，我們沒有辦法事先預言結果是什麼，我們所能預言的，是某個特定結果以多大的概率呈現在我們面前。

那麼，現在我們來考慮一個問題，既然說對一個量子系統觀測它的一個可觀測量（比如說，位置或動量），得到的結果往往是用概率表示的不確定的數值。那麼，是不是所有的觀測，得到的結果都是不確定的呢？

這個答案當然是否定的。比如說，如上圖所示，對粒子進行位置進行了一次測量後，波函數會坍縮成為一個尖峰的形狀，這個尖峰只在一個地方有數值，其餘的地方全部為零（這個尖峰叫做Dirac-Delta函數）。那麼，對這個「尖峰」的量子態，我們再進行一次位置測量，會得到什麼樣的數值呢？很顯然，根據玻恩規則，觀測結果只可能出現一個數值，就是尖峰所在的位置，而不可能出現其他任何數值（因為其他位置波函數處處為零！）。也就是說，我們100%地得到一個完全確定的位置數值。那麼，對於位置這個可觀測量而言，Dirac-Delta波（或簡稱δ波）就是一種特定的波函數，它代表的量子態總是給出確定的粒子位置。

我們再舉一個粒子，比如說這一次我們不觀測粒子的位置，而只觀測它的動量。有沒有某一種量子態，能夠使得我們得到確定的動量觀測結果，而不是一個隨機的概率分布呢？

在量子力學中，粒子的動量是和波函數的波長聯繫在一起的[1]，一個確定的波長，就意味著一個確定的動量。動量的測量就意味著尋找波函數的波長。那麼，我們就可以得到這樣的結論：對於一個只有一個確定波長的波函數所描述的量子態，它的動量是一個確定的數值，而不存在任何隨機的概率：只有一個確定波長的波在數學中叫做「平面波」，它是一個在整個空間中均勻分布的，向前後兩個方向無限延展的正弦波[2]：

對一個這種平面波，我們說，如果對它所描述的粒子進行一次動量的測量，我們一定會得到一個確定的動量數值。

等等等等。

在量子力學中，對於某一個可觀測量而言（位置、動量、能量、角動量……），如果有某個特定的量子態，處於這種量子態下的粒子，總是給出這個粒子相應的確定的觀測值，那麼，這種特定的量子態，就叫做這個可觀測量的本徵態。像前面的粒子，δ波就是位置的本徵態，平面波是動量的本徵態，等等。

事實上，人們可以證明，任何一個可觀測量，都有這麼一組本徵態。處於這個本徵態的粒子，我們觀測它的這個力學量，得到的永遠是一個確定的值。比如說，對平面波觀測動量總是得到確定的動量，對δ波觀測位置總是給出確定的位置……。這些本徵態可能是有限個數的，互相離散的狀態，也可能是無限多個的，互相連續的狀態（連續態這一點我們省略不講，原則上和分立態是一樣的）。

好了，我們現在可以繼續往下，談一下量子力學中一個非常奇怪的原理：態疊加原理。

比如說，我們現在有一個粒子，這個粒子的波函數是這樣的：

根據我們前面講的，我們看到這個波函數，就大概知道這個粒子的大致情況。比如說，我們知道，如果我們觀察一下這個粒子，我們最有可能在中間的位置發現它，而不大可能在邊上發現它。

對於一個波動我們知道，它可以看做多個波疊加在一起形成的，比如說，我們可以把這個波函數看做是無數個「尖峰」高度不同的δ波，疊加在一起組成的：

也就是說，這個波函數是由無數個位置本徵態波函數加權後疊加在一起形成的。這在數學上非常簡單，你只要把這些波乘以一個係數然後加在一起就可以了，如果是無數個波的疊加，只要做個積分就可以了。但是在物理上怎麼理解？我們知道，每一個位置本徵態代表著一個確定的位置。它們疊加在一起，就是無數個確定的位置加權後疊加在一起。這恰恰就是我們所說的波函數概率詮釋：一個粒子的位置是多個確定的位置的疊加態，如果我們觀察這個粒子，那麼這個粒子會隨機地從這些參與疊加的位置當中選擇一個，出現那兒，而自己就「坍縮」成為這個位置的本徵態。具體這個粒子會選取哪一個位置？概率由疊加時該位置的權重來決定。

當我們把一個波函數看做是若干其它波函數的疊加時，我們是不是只有一種疊加方式選擇嗎？答案是否定的。就好像5可以是1+4得到，也可以是2+3得到，還可以是1.5+3.5得到，……，總之，我們可以把5看做是無數種數字組合相加的到底。相類似地，一個波函數也可以看做是無數種不同的波的組合模式。例如，同樣是前面這個波函數，我們還可以用一系列平面波疊加得到：

數學上可以證明，任意一個波，都可以看做是某一組（可能是無數多個）具有不同波長的平面波的加權疊加。給定一個波函數，我們可以把它「分解」成為這一系列的平面波以及它相應的權重係數，這在數學上叫做「傅里葉分析」。比如說我們討論的這個波函數，它可以被分解成為9個不同波長的平面波的疊加（如上圖所示）。

而我們剛剛提到，每一個平面波都是動量的一個本徵態。它對應著一個確定的動量值，這個動量值是由它的波長唯一確定的。也就是說，波函數除了可以看做是若干個位置本徵態的疊加以外，還可以看做是若干個動量本徵態的疊加。

那麼同理，我們就可以把這個波函數所代表的動量看做是若干個確定的動量值的加權疊加。當我們對動量做出觀測時，我們得到的結果，就是在這樣一些動量值中做出一個隨機的選擇。而我們會得到哪一個確定值呢？它的概率是由疊加的權重所決定的。

前面我們提到的，當我們觀察粒子的位置時，它會從一個無處不在的狀態（現在我們知道了這是一種無數個位置本徵態的疊加態）突然概率性地收縮成為一個δ函數（其中的一個位置本徵態），然後給出我們一個確定的測量結果。那麼當我們測量動量時會發生什麼呢？

非常相似，粒子本來處於多個動量本徵態的疊加態。當我們觀察粒子的動量時，它會從這樣一個多個本徵態疊加的狀態突然收縮，概率性地選擇這些本徵態的其中之一，然後給出我們一個確定的測量結果，這個過程中，波函數的坍縮，並不是在位置上（真實空間中）發生坍縮，而是在動量上（波長的多選一）發生坍縮：

推而廣之，一個粒子的波函數其實不光可以表示為位置本徵態的疊加、動量本徵態的疊加。對每一個可觀測量，它的一組本徵態，都可以通過疊加的方式構造出這個粒子的波函數。這就是態疊加原理的普遍性。態疊加原理其實起源於一個事實，就是量子演化的薛定諤方程是一個線性方程。熟悉微分方程的同學們都知道（不熟悉的可以直接跳過這段），線性微分方程的一大特點就是，任意兩個解的疊加（線性組合），仍然是這個方程的解。也就是說，任何一個量子態都可以看做是一組其他滿足薛定諤方程的量子態的疊加結果。

那麼，自然而然地，我們可以把一個動量本徵態（具有一定波長的平面波），表示為位置本徵態的疊加。我們前面看到，動量本徵態是一個在空間上無限延展，均勻分布的狀態，這就意味著它需要在空間上前後無限遠的範圍內無窮多個δ波來疊加。也就是說，動量本徵態是一個動量完全確定、但是位置分布在全空間的狀態，也就是說，是一個動量完全確定，但是位置完全不確定的狀態

反過來，位置本徵態也可以用動量本徵態來疊加。我們用不同波長的平面波來疊加，隨著我們用到的各種波長數目增多，我們可以發現，疊加而成的波就會漸漸地從空間的均勻分布向中心集中。波長數目用到的越多，這個波就越集中，中間出現的波峰就越「尖」。如下圖所示，我們可以比較2個不同波長的平面波疊加，以及4個、8個、16個疊加的情況，就可以看出這種向中心的尖峰集中的趨勢。我們可以合理得到結論，當我們用到從零到無窮大分布的無數個波長平面波疊加時，我們就可以得到一個無限窄的Delta波。這就是我們如何用動量本徵態疊加得到位置本徵態的方法。我們可以看到，一個位置本徵態是由無數個波長疊加成的，也就是說，位置完全確定，但是動量卻完全不確定。

那麼我們可以看到很明顯的趨勢：當波函數在空間分布非常窄（極限情況是δ波）的時候，它的波長分布非常寬（極限情況是平面波）；而反過來，當它在空間分布非常寬的時候，它的波長分布非常窄。這和我們前面提到的不確定原理不謀而合：動量不確定度和位置不確定度的乘積不小於一個數值，動量越確定，位置越不確定，反之動量越不確定，位置就越確定。

因而我們可以看到，不確定原理其實是態疊加原理和玻恩規則的自然結論。

現在，我們再從另外一個角度來看量子態。

前面在講經典力學的時候，我們曾經用了很大量的精力，來說明一個系統的演化如何表現為相空間中的軌跡。系統的不確定性又是如何表現為相空間中粗粒的拉伸、扭曲、纏繞的。相似地，在量子力學中，也有一個類似相空間的概念，叫做希爾伯特空間。

什麼是希爾伯特空間呢？這個理解起來可能有一點抽象，我首先做一個一個類比：經典的速度矢量。

你已經學過了笛卡爾坐標系，在笛卡爾坐標系中，我們用兩個方向（x軸，y軸）就可以覆蓋所有的平面空間。任何空間中的任何一個點，都可以用它在這兩個方向上的投影來表示，這就是這個點的坐標。當然，你們還沒有學過的是，空間中的任意一點W，其實可以用一個從原點出發的「箭頭」來表示，這個「箭頭」有方向，也有長短，在數學上叫做「矢量」或「向量」。在x軸和y軸上分別兩個長度為1的矢量X和Y，可以通過把X和Y疊加的方式表示任意的一個點：

一般我們會把上面的寫法簡化，把兩個坐標軸上的單位矢量略去，寫作如下形式（列向量）：

如下圖所示：

我們知道，任何一個速度都可以看做幾個方向上的速度疊加。例如，向東北方向的一個速度，可以看做向東的速度和向北的速度兩個分量的疊加。對一個速度而言，它所處的坐標系是可以任意選取的。如下圖，一個速度w，它在坐標系1（紅色）中，是由vx和vy兩個速度疊加的，而在坐標系2（藍色）中，是由ux和uy兩個速度疊加的。總之，在一個平面中，我們只需要兩個坐標軸，就能表示所有的矢量。對於同一個矢量，我們選擇不同的坐標系，對應的疊加方式（係數）就不同，因而，它的坐標表現就不同，例如，在坐標系u中，W的坐標為（a，b），而在坐標系v中，它的坐標就是(x,y)。相應地，在三維空間中，我們需要三個方向。一旦這三個方向確定了，整個空間的所有的點就確定了。

那麼，我們把一個波函數也類比為這樣一個矢量，同樣道理，任意一個波函數，我們都可以看做其他幾個波函數疊加而成的。如下圖，一個波函數Ψ可以看做是一組波函數ψ的疊加，也可以看做是一組波函數φ的疊加。就像是在平面和空間當中一樣，我們也可以選擇一組ψ或者一組φ，使得任意一個波函數都可以用這一組波函數的疊加來表示。因而，量子態又被稱為「態矢量」。而我們選擇的一組ψ或φ，被稱為一組「基矢」，它擔當著類似平面坐標系中的坐標軸的作用。不同的系統，要想覆蓋所有的量子態，所需要的基矢數目不同。由一組基矢如果可以覆蓋全部的量子態，那麼這組基矢就可以定義一個量子態的空間（「張成」一個空間），這就是希爾伯特空間。

在前面速度矢量的例子里，在一個平直的三維空間中（歐幾里得空間），任意一個矢量都可以用相互正交的三個坐標軸表示，我們可以選擇任意地一組相互正交的坐標軸，用它們的疊加就可以表示出空間中所有的矢量。對一個一般的歐氏空間，要想把空間中所有的都矢量表達出來，這個歐氏空間有幾個維度，就需要有幾個這樣的正交坐標軸。

任何一個力學量的一組本徵態，都有一個非常有意思的特點，讓它們表現的非常像歐氏空間里的坐標軸：

• 歐氏空間中任意兩個坐標軸不重疊，或者更進一步，相互正交。一個力學量的一組本徵態互相正交；
• 歐氏空間中的所有點都可以用一組坐標軸來表示，希爾伯特空間中的任何一個量子態都可以用一個力學量的一組本徵態來表示；
• N維歐氏空間中一組n個坐標軸，是能夠表示空間中所有點所用到的的最少數量的坐標軸，一個力學量的一組本徵態是能夠表示希爾伯特空間中所有量子態所用的最少基矢。

簡言之，任何一組本徵態，它們兩兩之間互相正交，它們可以組合成為所有可能的量子態，並且它們是能夠組合成所有量子態所用到的最少數量的基矢。用數學語言表述，它們可以構成一組最簡完備的基矢。通俗一點講，就是一組本徵態剛剛好夠用來構成一組完整的坐標軸。

那麼，我們很自然地，選取某個力學量的一組本徵態作為基矢（「坐標軸」），用它來表示所有的波函數。任何一個波函數都可以看做是這組本徵態的疊加。而每個本徵態，就代表著一個確定的力學量取值。因而，任何一個量子態所代表的力學量，都可以看做是它所有可能取值的疊加。

好了，我們開始領略到態疊加原理的怪誕所在了？我來舉個例子。比如說，我們選取位置的本徵態作為一組基矢。那麼任意一個量子態，都可以看做是這組基矢的疊加：

這裡解釋一下，這個公式中用到了狄拉克的量子態表示方法，|狀態>，這個括弧表示的是一個量子態（區別於經典狀態）。在本文的範圍內，你可以忽略它。

我們常聽到這樣一種解釋：任意一個粒子的位置，都可以看做是這個粒子在空間所有位置的疊加。這讓人十分的費解，如何理解空間所有位置的疊加？好吧，這就回到了我們前面講到的量子幽靈，即粒子同時既在A點，又在B點，又在C點，總之，它無處不在，又無處存在。

然而，更加嚴格地講，這種位置疊加的理解是有問題的。因為我們前面談到的那個疊加，說的是是量子態的疊加，而不是可觀測量的疊加。上面這個公式的真實含義是這樣的：

某個粒子位置表象的量子態，等於粒子在空間中所有可能位置的本徵態的疊加。

這看起來很抽象，更直觀的意思是說，一個量子態等於每個位置的本徵態的疊加。也就是說，當我們想知道一個粒子位置的時候，我們首先要知道這個粒子的量子態。而這個量子態相當於粒子每一個可能位置對應的本徵態的一種加權疊加。而最後，這個疊加起來的量子態給出來的位置信息，就是每一個可能位置的概率。

所以說，位置從來都不能疊加，而是描述位置的量子態才可以疊加。我們要不斷地給自己洗腦：當我們不觀測某個粒子的時候，它的位置在哪裡？答案是，它的位置毫無意義！它只有量子態（波函數）在空間的分布，而沒有「位置」。「位置」只是對粒子經典運動狀態的一種描述，而在量子世界，我們只知道量子態，並且只需要知道量子態。而在量子態中，所疊加的，只是位置的概率而已。同理，當我們談論雙縫干涉中粒子是如何同時穿過兩條縫隙的時候，我們應該知道，如果我們沒有做出觀測，粒子穿過哪一條縫隙是一個毫無意義的問題，我們只知道粒子的量子態在空間的分布同時穿過了兩條縫隙。

那麼「粒子同時穿過了兩條縫隙」，這個說法對嗎？如果這句話指的是粒子的波函數（量子態）同時穿過兩條縫隙，那麼它是對的，但是如果你要想像成為經典圖像，粒子在穿過雙縫時，有兩個確定的位置和路徑，像「分身法」一般同時穿過，那就大錯特錯了。

由態疊加原理引出的還有比這個更加變態的話題，比如說量子糾纏、量子延時擦除、還有量子芝諾效應，等等，這些無一不讓人感覺大腦爆裂，但是最大名鼎鼎的就是那種著名的薛定諤貓。我們後面再來談它。

那麼最後，我們來看看在希爾伯特空間中，一個量子態的「坍縮」是怎麼一回事兒。

我們提到，在希爾伯特空間中，一個量子態可以表示為一個單位長度[3]的「箭頭」（矢量）。系統的演化就是這個矢量在希爾伯特空間中的旋轉。那麼，對這個系統進行測量的時候，發生了什麼？它發生了這麼幾個步驟：

1. 我們對這個系統選擇了一組「坐標系」（基矢）。前面我們知道，系統的基矢是可以任意選擇的，而在我們測量的時候，根據我們想要測量的具體可觀測量，我們人為地確定，這個系統的基矢是這個可觀測量的一組本徵態。比如說，測量動量的時候，就選擇動量本徵態作為希爾伯特空間的基矢。
2. 系統的態矢量因此就表示為這一組基矢的疊加。當我們進行測量的時候，我們對態矢量做了一個投影，投影到它的其中一個基矢上去，因而系統的狀態就變成了它的投影了。
3. 系統的態矢量到底會選擇哪一個基矢投影過去呢？這取決於這個態矢量與哪一個基矢最「靠近」。也就是說，它的方向最偏向哪一個基矢，就最可能投影到哪一個基矢上去。它在某個基矢的投影長度，就是決定了它投影到該基矢上的概率。
4. 每一個基矢，對應著一個實數，叫做本徵值[4]。態矢量最終選擇投影到哪一個基矢，測量的結果就得到相對應的本徵值。

由此可見，在量子力學中可觀測量不再是一個數值，而是一個算符。什麼是算符呢？算符就是一種針對量子態的操作規則和運演算法則。對於一個態矢量，我們用某個算符作用於它，就意味著我們根據算符的規則來對這個態矢量進行變換，例如增長、縮短、旋轉，等等。一個力學量的算符實際上包含了選擇基矢、投影、求特徵值等一系列操作。

關於這一點和經典力學非常不同。有個不太嚴謹的說法，因為測量過程就是我們對系統進行某種干預的過程，只有在干預系統時，我們才能得到系統的反饋，因而得到想要的信息。因而測量就是按照某種規則對系統做出改變，我們通過這種改變獲得想要的結果這就是為何可觀測量不再是一個不動的數字，而是一個變換系統的算符。

最後，我們再來看看本徵態的含義：本徵態就是這樣一種特殊的態矢量：力學量的算符作用到它身上，不會改變它的方向，只能進行伸長或縮短[5]。因而它只能投影到他自身。這就是本徵態永遠都可以獲得確定的測量值，並且測量前後狀態不改變的原因。

本章我盡量通俗地解釋了希爾伯特空間和態疊加原理，非常多的數學思維，但是希望你可以大概領略量子力學中因為態疊加而產生的諸多怪異行為。而態疊加產生的最著名的兩個妖孽，一個是薛定諤貓，另一個是量子糾纏。下面我一一道來。

[1]德布羅意波的一個最基本關係就是，粒子的動量與他的波長成反比，確定的波長就意味著確定的動量。

[2] 嚴格說，應該是它的實部是個正弦波，整個複函數波是在復空間旋轉的複數。這一點，我們在本文加以簡化，只用實部來表示。

[3] 因為一個量子態所可能產生的可觀測量的概率加和必須為1，這一點你暫時可以不用細究。

[4] 本徵態和本徵值的問題，是線性代數中最核心的問題。現在你只需要知道存在這個本徵值就可以了，如果細究，還需要補充很多數學知識。

[5] 真正有嚴格物理含義的態矢量長度為1，這是由概率性決定的。所有長度不同、但是方向相同的態矢量，對應的是同一種量子態，沒有區別。

推薦閱讀：