應用鴿巢原理的紙牌魔術一則

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（題圖版權歸視覺中國）
這是我從這個文件中學到的兩個小魔術（以及下一篇），在第33個教師節介紹給大家，因為我堅持認為「教師」就是一種「傳遞」。

【魔術簡介】

魔術師邀請一位不知情的觀眾從一副標準的撲克牌（52張）中隨機選出5張牌。這位觀眾把它們展示給魔術師的助手，但不向魔術師展示。助手看過這5張牌後，從中選擇4張，並按照一定的順序逐一展示給魔術師看。魔術師便可以說出第5張紙牌的花色和點數。

【魔術揭秘】

助手只能通過按照某種次序展示其中4張紙牌，來向魔術師傳遞第5張牌的信息，具體而言就是第5張牌的花色和點數。

(1) 首先，注意到在任意五張紙牌中都必然有兩張牌花色相同（鴿巢原理）。助手向魔術師展示的第一張牌就是這兩張牌中的一張——這事實上就告訴了魔術師第5張牌的花色。而假如兩張牌是?3和?J時，助手要選擇哪一張向魔術師展示？還是隨意一張都可以？——這個選擇是要由第5張牌的點數決定的。

(2) 接下來需要確定的是第5張牌的點數。

按順時針方向將同一套花色的撲克牌從A(1)到J(11)、Q(12)和K(13)循環編號（即點數1排在點數13之後）排成一個圓形序列。

對於任意給定的兩張紙牌（同花色） $X$ 和 $Y$ ，定義 $distance(X, Y)$ 定義為從 $X$ 到 $Y$ 的順時針距離（即 $(Y-X)(mod 13)$ ）。例如 $distance(A, 7)=6$ ， $distance (7, A)=7$ 。

$distance(X, Y)$ 具有如下性質： $distance(X, Y)+distance(Y, X)=13$ 。（第二次）使用鴿巢原理，可以得到——或者 $distance(X,Y)leq6$ ，或者 $distance(Y, X)leq6$ 。

於是回到「助手要選擇同色牌中的哪一張向魔術師展示？」問題，回答是——從相同花色的 $X$ 和 $Y$ 兩張牌中，助手向魔術師展示紙牌 $X$ ，使得 $distance(X, Y)leq 6$ 。例如兩張同花色紙牌是?3和?J時，助手要向魔術師展示?J而隱藏?3，這是因為 $distance(J, 3)=5$ 而 $distance(3,J)=8$ 。