大話CAE | （五）材料力學的困惑（1）

計算機輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）是以專業計算機軟體為工具，對工程中複雜產品的物理特性（如結構強度，剛度，穩定性，動力響應，三維多體接觸，彈塑性，熱傳導，電磁場，流場的速度和壓力等）進行分析計算及優化設計的一種近似數值分析方法。近些年以來，該技術在機械，汽車，航空，航天，電子產品，土木等領域得到了廣泛的應用。

要了解該技術，我們可以從材料力學的局限性談起。材料力學主要以單根桿件為基礎，研究其強度，剛度，穩定性問題。對於理想桿件發生的四種基本變形和組合變形，可以使用材料力學的研究成果來對其進行設計和校核。但實際工程結構是千變萬化的，對於一個實際桿件結構，用材料力學的計算方法來計算，會遇到很多挑戰，下面舉例說明。

如下圖所示的懸臂樑，在中間施加一個豎直向下的集中力P，要考察該梁的強度問題。使用材料力學的方法解決該問題是容易的。可以首先繪製出內力圖，然後得到危險截面，接著在危險截面上找到危險點，根據該危險點的應力不要超過允許應力，就可以進行強度設計。

然而實際的結構總是比上圖要複雜一些。在實際結構中，為了加強剛性，通常會增加支撐，如下圖。直觀的看，此時結構的剛性顯然會提高，但是它給求解帶來了麻煩。因為此梁左邊是固定端，有3個約束力的未知數，右邊有1個約束力的未知數，這樣一共是4個約束力的未知數，但是根據理論力學，該梁只能列出3個獨立的平衡方程，所以是不能求出所有的未知反力的。

不能求出所有的未知反力，這導致無法求內力。因為內力是用截面法，對某一段列平衡方程得到的。外力不知道，內力就沒有辦法得到。不能得到內力，則不知道危險截面，從而不知道危險應力是多少，進行強度計算就成為空中樓閣。

上述問題在材料力學裡面稱為超靜定問題。為了解決上述困境，材料力學使用了所謂的力法。力法的基本思路如下。

首先，把右邊的滾動支座用一個向上的集中力F來取代如下圖。因為滾動支座本來就是提供一個支持力的作用，所以這種取代並無問題。

一旦取代以後，按照疊加法，該圖可以分解為下面兩種情況的疊加。

在第一種情況下，只有集中力P作用，在第二種情況下，只有集中力F作用。顯然，我們可以使用材料力學求變形的方式，由P求出Y1，由F求出Y2.這就是說，Y1是P的函數，而Y2是F的函數。這裡要注意，Y1與Y2是相等的。之所以相等，是因為B點本來就是一個滾動支座，它是不會有豎直方向的位移的。這樣，根據Y1=Y2，就可以得到F與P的一個關係式。因為P是已知量，所以就可以求出F的大小。

這樣，在得到F的大小後，再對原問題列出3個靜力學平衡方程，共4個方程，就可以解出4個未知反力，此時，所有的外力都已知，從而可以求內力，求應力，進行強度計算了。上述方法稱為力法。

力法看似很容易的解決了超靜定問題，其實不然。考察下圖所示的問題，此時B端是固定端，這樣左邊3個未知反力，右邊3個未知反力，共有6個未知反力，所以需要補充3個方程，用上述方法仍舊可以得到這3個方程。但是實際問題的複雜性要遠遠超過該問題。

考察以下鋼架，整個結構都是焊接而成，在A端B端簡支，而在鋼架上某些節點處施加了向下的集中力，現在要求該梁的強度是否足夠，也要計算最下面水平梁中間點的位移。

由於該鋼架是一個構件，所以只能列出3個獨立的平衡方程。但是其內部情況卻很複雜，很難知道哪裡最危險，即便知道了，也很難計算出其內力是多少。對於材料力學而已，這簡直成為一個不可解的問題。

再如下圖一個傳動箱的支架，該支架是由一些方鋼焊接而成，要對該支架進行強度計算，材料力學也是無能為力的。

以上兩個問題的共性就在於，他們是超靜定問題，而且超靜定次數很高，就是說，要補充一大堆方程來求解外力。這使得上述所謂的力法在實踐中很難使用。

對於上述問題，幾乎只有CAE這種解決渠道。

轉自技術鄰阿鑒2516公眾號——ANSYS學習與應用

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