列聯表篇之七：屬性不同雙向有序表的Kendall's tau相關分析

雖然也稱為秩相關係數，但Kendalls tau(τ)與Spearman rho(ρ)在思路上還是有所不同。兩種相關係數都屬於廣義相關係數(General Correlation Coefficient)的特例。

Kendalls tau是由英國統計學家Maurice George Kendall爵士(1907.9.6~1983.3.29)於1938年提出。

Kendalls tau秩相關係數也稱為順序數據一致性度量，包括一組評價係數。

• ? Somers D
• ? Goodman - Kruskals gamma(γ)
• ? Kendalls tau，包括a、b、c三種形式

這一組評價係數雖然各有不同，但其基礎數據來源卻是一致的，因此在一些統計軟體中經常將它們列在一起。

Kendalls tau的思路是這樣的：

針對一個雙向有序表，可以將X和Y列成n個數據對(xi，yi)，這一點很容易理解，相關係數計算的條件必須是成對數據。如果X和Y正相關，那麼兩個變數必然有相同的變化，要變大都變大，也變小也都變小，如 (1,2)~(2,4)、(5,3)~(2,2)等，這樣變化的對叫做協和對(concordant pair)；如果是負相關，則兩個變數的變化是相反的，如(1,2)~(2,1)、(5,3)~(2,4)，則稱為不協和對(disconcordant pair)；如果出現這樣的對，如(1,2)~(1,3)、(5,3)~(3,3)、(1,1)~(2,2)，即在變化中至少有一個變數沒發生變化，則既不是協和對也不是不協和對，我將其簡稱為 「不變對」。

這些對通過將樣本的每個對與其它對進行兩兩比較得到，因此一個樣本中存在n(n-1)/2個對。Kendalls tau的思路就是要衡量在總的這些對中，是協和對多還是不協和對多。如果協和對顯著多於不協和對，則為正相關；反正則為負相關；如果兩種對中沒有明顯多的對，則說明兩個變數不存在相關關係。

我們用下面一個表來說明其分析過程，因為手工計算量比較大，我用小樣本量的數據來說明。

假設我們有這樣一個表，其中X1<X2<X3，Y1<Y2<Y3<Y4

為了便於理解，我把表格轉換成下面的形式，並計算各種對。表中將X作為主排序變數，Y作為次排序變數。每一行的對都與其上面的各行比較，以確定這三種對的數量。

我們以(X3,Y2)為例，這樣的對有兩對，第一對與上面的16對比較，可以得到7個不協和對、3個協和對和6個不變對，一共有16個對。第二對除了要與上面的16個對比較外還需要與前面的第一對比較，因此多了一對不變對，共17個對。由此得到總的協和對C=80，不協和對D=53。

可能有人會說，你這樣弄太麻煩了，可以在表格中直接計算。是的，上表只是為了直觀說明各種對是怎麼來的，實際做的時候其實不必這麼麻煩地一對一對地比較。下面我們看看怎樣直接從表格中計算。

我們從(X1,Y1)開始尋找，正向變化的數據對在格子的右下方的子表中，這些子表中X和Y都比X1和Y1大，見下面的紅色方框中，將方框中格子的頻數相加再乘以(X1,Y1)格子的頻數，即為協和對數；(X2,Y1)的正向變化的子表在藍色方框中；(X1,Y2)的正向變化的子表在綠色方框中。

這樣就可以直接計算出：

C=1×(4+1+1+2+1+4)+2×(1+1+1+4)+ 3×(1+4)+ 2×(2+1+4)+ 4×(1+4)+ 1×4=80

不協和對則是找右上方的子表，從(X3,Y1)開始，X變大，Y變小的子表見下表：

這樣就可以直接計算出：

D=0×(2+3+2+4+1+1)+2×(3+2+1+1)+ 1×(2+1)+ 2×(2+3+3)+ 4×(3+2)+ 1×2=53

不變對怎麼計算呢？當然是要找對中兩個變數至少有一個不變的，其實就是找結，行和列的節數分別為：

將兩個上式的兩個值相加得出的不變對多了，每個格子中自身的比較加了兩次，需要減掉多加的一次，即每個格子的重複數，記為：

總的不變對就是77+62-19=120。

總對數為：

Kendalls tau分為a、b、c三種：

是協和對與不協和對之差與總對數之比。但列聯表中結非常多，需要進行校正，於是有：

式中ti和tj分別為行和列之和，可以看出，當結為0時，兩個公式是一樣的。因此tau-b是最常用的。

用這個公式可以計算出例子的tau-b為：

tau-c公式如下：

其中m表示行數和列數較小的那一個，在上面的例子中m=3。

一般認為，tau-b更適合正方形表格，tau-c更適合長方形表格。但用tau-b來分析長方形表格也比較常見。

Robert H. Somers1962年在Kendalls tau基礎上提出了另一種衡量等級變數關係的指標，稱為Somers D。Kendalls tau針對X和Y的順序是對稱的，即無論是X和Y，還是Y和X，秩相關係數是一樣的。而Somers D是不對稱的，有下列公式：

分母分別減去了X、Y結的對數。

用例子中的數據可以計算得：

Goodman - Kruskals gamma(γ)是統計學家Leo A. Goodman (1928.8.7~)和William Henry Kruskal (1919.10.10~2005.4.21)在1954年~1972年的一系列論文中提出的。這個指標不考慮「結」，計算方法同樣簡單粗暴，為

如果沒有結，則G=tau-a。

本文的例子計算得G=(80-53)/(80+53)=0.203008。

秩相關係數顯著性檢驗，只介紹Kendalls

H0：τ=0

Ha：τ≠0

如果沒有結，則統計量的計算比較簡單，τa的方差為：

因此正態近似的z統計量為

tau-b的z統計量就非常複雜了，這也是很多人不願意用它的原因之一。我原本也不想講公式寫出來，但考慮到給大家當成一個資料來備查，我還是決定費點勁把它寫出來。

這個公式看著簡單吧，但是這個ν就複雜了。

ti、tj分別是行和列的結，r、c分別為行、列數。

複雜吧？

根據上面的公式直接計算出zb=0.795088，雙邊檢驗正態分布p值為0.426562，因此無法拒絕原假設，即兩個變數無相關關係。

取上一篇的銀行客戶滿意度的案例，計算得C=16216，D=12181，總對數=59340，不變對=30943。

由此計算得τb=0.098538，zb=2.134122，雙邊檢驗p值=0.032833，因此可以拒絕原假設，認為客戶等級與滿意度有相關關係，雖然這個關係很弱。

講到最後，可能大家有個疑問，Spearman和Kendall兩個秩相關係數孰優孰劣呢？

關於這個問題，沒有明確的答案。在吳喜之《非參數統計方法》中提到：

對於這個問題還沒有一個確切的答案，但是可以注意以下幾點：

1.Kendall tau檢驗統計量的計算比Spearman秩相關係數的計算要複雜得多；

2.Kendall tau檢驗統計量收斂於正態的速度比Spearman秩相關係數要快得多，於是在用大樣本近似，而n並不大時，Kendall

tau檢驗較可靠；

3.二者對於樣本想係數的ARE(Asymptotic Relative Efficiency 漸進相對效率)是相同的；

4.對於同一組數據，這兩個統計量的值可能不同，但是其結論應是一樣的；

5.Kendall tau檢驗統計量是總體某參數的估計，而Spearman秩相關係數則不然。

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