個人自由和帕累托改進之間的衝突

01-30

學過高級微觀經濟學就知道Arrow不可能定理是社會選擇理論的基礎，要得到可能性結果可以通過限制偏好範圍或者引入跨人比較。社會選擇理論中還有一個經典的不可能定理，是Amartya Sen在1970年的論文《The Impossibility of a Paretian Liberal》中提出來的。這篇論文發表在《Journal of Political Economy》上，只有6頁，就證明了一個定理，但這是Sen最重要的一篇論文之一，引用上千。

這篇論文的直覺來自個人和集體的矛盾。比如，我睡覺用什麼姿勢應該是我的個人自由，但是如果社會上的其他人多管閑事，對我的睡覺姿勢有偏好，那這裡就存在衝突了。這個定理就是把這種衝突嚴格表述了出來。

首先，有多個人和多個社會狀態也就是選項，每個人都對選項有偏好，偏好滿足完全性和傳遞性。要得到一個集體選擇規則，這個集體選擇規則是一個偏好關係，我們要求通過這個集體選擇規則可以在任意選項集合中找到一個至少和其他選項一樣好的最優選項。這個要求比傳遞性弱，不滿足傳遞性的偏好關係也可能存在最優狀態。定義這樣的集體選擇規則叫社會決策函數。

下面是要求滿足的條件。條件U：不限制個人偏好的範圍，就是說什麼樣的個人偏好都可以。條件P是帕累托條件：如果每個人都偏好選項x之於選項y，那麼社會也要偏好x之於y。這都是Arrow不可能定理的條件。

還有一個條件描述個人自由原則。個人自由就是說在一個人自己的問題上，社會應該讓這個人自己決定。條件L：對於每個人，都存在兩個選項，使得社會對這兩個選項的偏好和這個人的偏好一樣。這個條件可以放寬到只有兩個人有這種自由。（如果只有一個人有個人自由，那隻要讓這個人作為獨裁者就行，沒有不可能結果。）條件L『：至少有兩個人，對其中每個人，都存在兩個選項，使得社會對這兩個選項的偏好和這個人的偏好一樣。

定理：不存在同時滿足條件U、P、L『的社會決策函數。

證明：記條件L『中的兩個人為甲和乙，甲決定x和y之間的偏好，乙決定z和w之間的偏好。如果這兩對選項一樣，那麼甲和乙偏好不一樣時社會偏好怎麼辦？矛盾。所以這兩對選項不可能完全一樣。以下分兩種情況討論。

第一種情況，兩對中有一個一樣，不妨設x=z。假設甲偏好x之於y，乙偏好w之於x。根據條件L』，在社會偏好中x在y前，w在x前。讓所有人包括甲和乙都偏好y之於w。那麼根據條件P，社會偏好中y在w前。可見，x、y、w彼此循環，不存在社會決策函數。

第二種情況，x、y、z、w都不一樣。假設甲偏好x之於y，乙偏好z之於w。根據條件L』，在社會偏好中x在y前，z在w前。讓所有人包括甲和乙都偏好w之於x，偏好y之於z。那麼根據條件P，社會偏好中w在x前，y在z前。這樣x、y、z、w中找不出一個最優選項，不存在社會決策函數。證畢。

論文中舉了一個例子。有一本有爭議的小說《查泰萊夫人的情人》和甲乙兩人。甲認為最好沒人看這本書，如果有人看，他寧願自己下地獄而不願這本書毒害別人，所以甲的排序是：都不看書、甲看書、乙看書。乙思想開明，希望有人看這本書，他更願意讓甲看這本書，所以乙的排序是甲看書、乙看書、都不看書。每個人在自己看不看書的問題上有個人自由，所以在甲看不看書的事上按甲的意願排，於是都不看書在甲看書之前；在乙看不看書的事上按乙的意願排，於是乙看書在都不看書之前。這樣看來乙看書就是最優狀態，但是，這個狀態是帕累托無效的，甲看書的狀態對於乙看書而言是個帕累托改進。

這個定理說明了帕累托改進原則和個人自由原則之間的衝突。和Arrow不可能定理一樣，也可以通過限制偏好範圍和引入跨人比較來得到可能性結果。比如，如果每個人都尊重其他人的個人選擇，就是說，如果x和y兩個選項的區別只是甲個人的問題，那乙對x和y無差異，那就沒問題了。這就是限制偏好範圍。如果人們充分尊重他人，那麼我們可以有一個自由的社會。