小白學物理之狹義相對論（8）——貝爾飛船佯謬

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本章是小白學物理狹義相對論部分最後一章，討論一個有趣的問題，貝爾飛船佯謬，這個佯謬是這樣的：兩架飛船AB停在地面，距離為L，某一時刻，兩架飛船同時起飛，同時加速到u，在地面系看來，兩架飛船距離始終為L，在飛船系看來，兩架飛船不是同時起飛，加速完成後距離為 $L/sqrt{1-u^{2}/ c^{2} }$ 。可是，如果我們用一根直桿連接兩架飛船，桿長L，兩架飛船可以看做一架，起飛後在飛船系看來兩架飛船距離仍將為L，那麼到底應該是多少呢？

這個問題我百思不得其解，在知乎提出了我的疑問， @gyroscope 老師回答了我的問題，解除了我的疑問，現在我用小白的語言將答案翻譯一下。

首先明確一點，在受力的時候不發生形變的材料是不存在的，一根10米長的鋼筋，抓住一頭往前拉，整條鋼筋都會動，那麼令鋼筋尾部隨頭部一起運動的力是哪裡來的呢？來自於鋼筋的形變。鋼筋頭部受力產生加速度，可是鋼筋尾部還是靜止的，這時候鋼筋受到拉扯產生形變，然後就會產生應力，這個形變應力作用在鋼筋尾部，讓鋼筋尾部也產生加速度，整條鋼筋就這麼動起來了。

同理，連接兩架飛船的直桿不產生形變也是不可能的，但只要是可以恢復的彈性形變，兩架飛船結束加速過程以後，還是可以保持長度不變的，但在地面系看來，直桿就已經縮短了。具體是怎麼縮短的呢？讓我們來分析一下。

假設飛船A在前，飛船B在後，兩架飛船同時開始加速，開始的時候直桿不會產生應力，但當加速開始一個很短的時間 $Delta t$ 以後，飛船A的速度達到 $aDelta t$ ，這時在飛船A的參照系中，飛船B剛開始加速，那麼直桿被拉長了一小段，從而使直桿產生應力，這時候飛船A若想保持原來的加速度就必須加大動力，而飛船B也受到了直桿的拉力，從而在原來的加速度上附加了一個直桿拉力產生的額外加速度，會以比a大一點的加速度加速，直到兩者接近的距離正好抵消了直桿的延長量應力才會消失。然後重複上面的過程，直到整個加速完成，整個過程中飛船A以加速度a加速，而飛船B以大於a的加速度加速，這樣才能保證飛船系直桿長度不變，而在地面系看來，同樣是飛船B的加速度大于飛船A的加速度，這樣加速完成以後，直桿收縮了。

nn是不是挺簡單的？雖然涉及到了加速度，但是在狹義相對論框架內還是能夠處理的。狹義相對論的勻加速坐標系又被稱為倫德勒時空，在倫德勒時空內，會出現一個視界，飛船上的人永遠也不可能看到視界外的事情。倫德勒時空討論起來太複雜了，我們就不去管它了（其實是我不會）。

在此感謝 @gyroscope 老師的幫助。