（I）Banach空間和不動點定理 2 : 不動點定理和鐘擺問題

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這一小節我們主要講「壓縮映像原理」或者「Banach不動點」定理，還有這個定理的應用。

（I）Banach空間和不動點定理（1） - 知乎專欄

這個定理很「簡單」，但是用處很大，可以證明很大一類的「存在性」問題：鐘擺問題、常微分方程基本定理、隱函數定理、和牛頓法的收斂性。 這個不動點在現在的研究論文中也是基本的方法，很多現在論文中依然使用了這個不動點。它也是不動點定理中的一條大腿，另外一條大腿我後面會提及。

本小節的主要知識點

一、度量空間

二、壓縮映像原理（Banach不動點定理）

三、各種應用：常微分方程的存在性、隱函數定理和鐘擺問題。

一、鐘擺問題和一般的常微分方程

我們考慮一個理想的鐘擺問題：用長度 $l$ 的繩子掛著一個重量為 $m$ 的擺，然後讓它擺動。

設某個時刻 $t$ 的角度為 $theta(t)$ ,則在切線方向上我們用牛頓定理可以得到下面的方程

$-mgsin theta(t)=mltheta(t)$ .

過多的物理我不涉及了，有興趣的看

Pendulum (mathematics)

從數學來看，上面的方程是一個非線性的常微分方程，我們的在這一節的目標是證明這個方程的解是存在的。

設 $x(t):=(theta(t), theta(t))$ 和 $F(x)=(theta(t),-frac{g}{l}sin theta(t))$ ,那麼上面的問題化成

$frac{dx}{dt}=F(x)quad x(0)=(theta(0),theta(0))$ .

這樣引出一個更一般的常微分方程問題

$frac{dx}{dt}=F(t,x)quad x(0)=x_0$

二、度量（距離）空間和壓縮映像原理

度量空間 $(V,rho)$ 和一個賦范線性空間的區別有哪些？第一、 $V$ 不滿足「線性結構」，它不一定是線性空間。第二、設 $rho(x,y):=|x-y|$ ，則 $rho(cdot,cdot)$ 是一個距離。這個時候 $X$ 上的一個子集 $S$ 帶上距離 $rho(x,y):=|x-y|$ 是一個距離空間。所以一個一個賦范線性空間的子集自然是一個度量空間。

類似於在上一節的賦范線性空間，我們可以引入收斂、閉集和連續運算元；

（1）：如果 $lim_{ntoinfty}rho(u_n,u)=0$ ,我們說 $u_nto u$ 。

（2）：開球 $B_r(x)={yin V; rho(y,x)<r}$

（3）：一個集合中任意點都可以找一個小開球使得其在這個集合中，它就是開集。

（4）：我們把閉集定義為開集的補集

類似於上一節，我們可以證明,請想一想如何證明

$S$ 是閉集當且當 $(x_n)subset S, x_nto x,implies xin S$ .

好了，我們考慮一個度量空間的完備性問題：設 $(x_n)$ 是Cauchy列（也就是基本列：對於 $epsilon>0$ ，存在 $N$ , 當 $m,ngeq N,$ 時必然有 $rho(u_n,u_m)leq epsilon$ ）。

三、壓縮映像原理

現在我們映入一個運算元：壓縮映像。

設 $T:(V,rho)to (V,rho)$ ,如果存在 $Lgeq 0$ 使得對於任意 $x,yin V$ ,

$rho(T(x),T(y))leq Lrho(x,y)$ 成立，那麼我們稱這個運算元是Lipschitz的。

一個例子，如果 $V=mathbb{R}$ 和 $T:mathbb{R}to mathbb{R}$ 是一個連續可導函數，如果 $sup_{xinmathbb{R} }|T(x)|<infty$ ，那麼這個運算元是Lipschitz的。

如果 $L<1$ ，我們管這個映射是壓縮映像。也就是說：

對於一個運算元 $T$ ，一個點 $xin V$ 如果它滿足 $T(x)=x$ ,那麼我們管叫「不動點」。

證明：隨便給一個初值 $x_0in V$ , 設 $x_{n+1}=T(x_n), , ngeq 0$ . 不難發現 $rho(x_{n+1},x_n)leq L rho(x_{n},x_{n-1})leq cdots leq L^nrho(x_1,x_0)$ .

從而我們發現

$rho(x_{n+k},x_n)leq sum_{i=0}^{k-1} rho(x_{n+i+1},x_{n+i})leq sum_{i=0}^{k-1} L^{n+i}rho(x_1,x_0)leq frac{L^n}{1-L}rho(x_1,x_0)$ .

也就是說這是一個基本列，由於這個距離空間是完備的，則存在 $xin V$ 使得 $x_nto x$ 成立。

$x=lim_{nto infty}x_n=lim_{nto infty} T(x_{n-1})=T(lim_{ntoinfty} x_{n-1})=T(x)$ 。

所以這個是一個不動點。唯一性很簡單，大家自己思考。

四、不動點的應用

「不動點定理」是一個大家族，有各種不同的不動點定理。這個定理有什麼用？

我們講一下利用不動點定理的基本邏輯：對於一個存在性問題，我們構造一個度量空間和一個映射，使得存在性問題等價於這個映射的不動點。只要證明這個映射存在不動點，那麼原來的存在性問題就搞定了。

（1）牛頓法解方程：

對於一個方程 $f(x)=0$ ,我們考慮運算元

不動點 $T(x)=x$ 恰好是方程的根。這裡我們要求 $frac{df}{dx}$ （至少在根的附近）不等於0。

同時，我們求導發現

所以在一個根 $x_0$ 附近，導數為0，可以保證在這個點附近 $B_r(x_0)$ ，運算元是壓縮映射。同時也不難發現如果 $r$ 充分小，我們可以保證 $T(B_r(x_0))subset B_r(x_0)$ . 根據壓縮映射原理，運算元 $T$ 在度量空間 $B_r(x)$ 有唯一的不動點。而且，我們的「壓縮映像原理」中的證明說明數列

收斂。這也是數值解方程的一種思路，這種方法叫牛頓法。

（2）隱函數定理