K-K理論の總結（下）

01-30

原本是要總結三次的，但是突然就不想磨洋工了。這次先給出K-K理論的框架，然後簡單介紹一下與其相關的工作就好了。總的來說，了解K-K理論起點並不高，只要GR里的那點兒數學還比較熟悉，相關文章讀起來還是很順暢的。

上次的文章戳這裡：K-K理論の總結（上） - 知乎專欄

第一部分：Kaluza-Klein Theory

這部分簡單介紹一下K-K理論的框架，當然，上次一開始我們就已經把它劇透完了。

1，Kaluza的工作：

上次簡單介紹了一下當年Kaluza的工作，Kaluza在廣義相對論原有的四維時空的基礎上，加了一個維度，並且利用這個五維流形給出了引力場與電磁場的方程。具體來說：

五維度規： $tilde{g}_{AB}=begin{pmatrix}g_{alpha beta } +kappa ^2phi ^2A_alpha A_beta &kappa phi ^2A_alpha kappa phi ^2A_beta &phi ^2end{pmatrix}$ ；

Cylinder Condition： $frac{partial tilde{g} _{AB}}{partial x^5} =0$ ；

真空中五維場方程： $tilde{R} _{AB}=0$ ；

（和上次一樣，我們會給五維的幾何量加小波浪 $tilde{R}$ ）。

由以上條件，我們就可以根據五維真空場方程給出四維時空下的引力場與電磁場。值得注意的是，這裡並沒有引入所謂的「五維能動量張量」。這是因為，我們的目的是把四維時空中的物理現象解釋為五維時空的純幾何效應（而不引入額外的物理量）。

2，Klein的工作：

Kaluza理論中的Cylinder Condition太不自然了，這簡直就是「欽定」的，根本沒有按照物理學中的「基本法」去分析，去計算。為了讓一切看起來都是符合基本法的，Klein假設：第五個維度的尺度很小，而且是半徑為 $r$ 的小圓環。這樣一來，我們容易發現，對於流形上的任意函數 $f$ ，它一定滿足： $f(x,x^4)=f(x,x^4+2pi r)$ ，其中 $x=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ 。由此類我們就可以對流形上的張量場做傅里葉展開，例如： $phi (x,x^4)=sum_{-infty }^{+infty }{phi ^{(n)}e^{inx^4/r}}$ 。

利用類似的方法，Klein在Kaluza理論的基礎上給出了電荷的量子化： $q_n=frac{nsqrt{16pi G} }{rsqrt{phi } }$ 。具體細節有興趣的話就去看他兩原來的文章好了，這裡不再贅述。

3，Kaluza-Klein Theory：

其實，上次一開頭就把K-K理論劇透完了。這裡把上次劇透的東西弄得再具體一些。從現在的角度看Kaluza-Klein Theory其實是很自然的。

給定主叢 $P$ ，其底流形 $(M,g_{ab})$ 是我們熟悉的偽黎曼流形；結構群為 $U(1)$ 。給定纖維 $pi ^{-1}left[ x right]$ 上的度規 $Lambda$ ，基於規範不變性的要求，其在每根纖維上是不變數。但不同的纖維上的值可以不同，後面我們會發現，它對於這Kaluza理論中的標量場 $phi$ 。

由此，我們可以在整個叢流形 $P$ 上給定一個度規，不過這個度規必須和底流形的度規 $g_{ab}$ 還有纖維上的度規 $Lambda$ 相容。系統的作用量為： $S=int_{}^{}left( R(tilde{g} )sqrt{-tilde{g} } right) d^5x$ 。

給定主叢上的聯絡，即 $mathfrak{g}^*$ 值一形式場 $tilde{omega }$ ，利用局域截面 $sigma _U:Urightarrow P$ 把它拉回到底流形上就可以得到電磁場的四維矢勢。我們定義： $dtilde{omega } =pi ^*F$ ，由此，藉助纖維上的度規 $Lambda$ ，我們可以寫出整個主叢上的曲率標量： $R(tilde{g} )=pi ^{*}left( R(g)-frac{Lambda ^2}{2}left| F right|^2 right)$ ，相應的作用量也就確定了下來。

這時候，如果我們對 $tilde{g}$ 做變分，就可以得到愛因斯坦場方程： $R_{ab }-frac{1}{2} g_{ab }R=frac{1}{Lambda ^2} T_{ab}$ ；其中能動量張量為： $T_{ab}=F^{ac}F^{bd}g_{cd}-frac{1}{4}g^{ab}left| F right| ^2$ 。

相應的，對 $tilde{omega }$ 做變分，可以得到麥克斯韋方程： $dF=0$ ； $d^*F=0$ 。

值得注意的是，度規 $Lambda$ 在不同的纖維上可能是不同的，在這裡，它相當於引力場與電磁場的耦合常數。Kaluza一開始為了統一電磁場與引力場而引入的五維流形，實際上就是主叢 $P$ 。

第二部分：其他人的工作

基於Kaluza的工作，還有一種理論是值得的注意的，它通常被稱為「Noncompactified Theories」。相對的，在K-K理論中，我們引入額外緊緻維度來構造高維流形的方法稱為「Compactification」。

這裡理論中的度規和Kaluza理論中的類似，不過，在這裡我們選取適當的坐標系使得 $A_alpha =0$ ，此外還引入了參數 $varepsilon$ ，即： $tilde{g} _{AB}=begin{pmatrix}g_{alpha beta }&00&varepsilon phi ^2end{pmatrix}$ 。接下來，我們要做的和K-K理論一樣，我們要把四維時空中的物理現象解釋為五維流形上的純幾何效應。同樣的，我們可以計算五維流形上的聯絡係數 $tilde{Gamma }^A_{BC}$ ，進而給出里奇張量 $tilde{R} _{AB}$ ，並利用真空中的五維場方程： $tilde{R} _{AB}=0$ ，給出我們想要的結果。不過，不同之處在於，這裡不再有Cylinder Condition了，所以計算量會很大。

最後，經過計算我們可以得到三個方程：首先是愛因斯坦場方程，這裡四維的能動量張量可以用五維的幾何量表出；其次我們還得到了兩個方程，一個是關於 $phi$ 的方程，某些情況下我們可以給出Klein-Gordon方程；另一個是： $nabla_bP^b_a=0$ ， $P_{alpha beta }=k(m_iv_alpha v_beta+m_gg_{alpha beta } )$ ，經過變形我們可以直接從場方程得到四維測地線的方程（這與我們通常的結果不同）。容易發現，沒有了Cylinder Condition，這裡的計算量真的是很大的。