一道數學題：個體理性與群體非理性

01-30

這是本專欄的第 33 篇日記

前兩天我向一眾大佬諮詢了一道數學題：

解釋一下：

$delta$ 是一個隨機變數，服從任意概率分布 $F$ （注意：不是指F分布），其密度函數為 $f(delta)$ 並滿足 $support(f(delta))subseteq (0,1)$ ，也就是說 $delta$ 只在 $(0,1)$ 上取值。

試證明或證否： $frac{mathbb{E}[delta^{t+1}(1-delta)]}{mathbb{E}[delta^t(1-delta)]}$ 隨 $t$ 單調不減，可以只考慮 $t$ 為非負整數的情形。

@白如冰大大給出了一個優雅的證明：

記 $F_{t}=mathbb{E}[delta^t(1-delta)]$ ，原命題等價於證明 $forall tinmathbb{Z}^+, frac{F_{t+1}}{F_{t}}gefrac{F_{t}}{F_{t-1}}$

$Leftrightarrow frac{F_{t+1}F_{t-1}-F_t^2}{F_tF_{t-1}}ge 0 Leftrightarrow F_{t+1}F_{t-1}-F_t^2ge 0$

$F_{t+1}F_{t-1} = int_0^1u^{t+1}(1-u)f(u)duint_0^1v^{t-1}(1-v)f(v)dv$

$=int_0^1int_0^1u^{t+1}v^{t-1}(1-u)(1-v)f(u)f(v)dudv$

$F_t^2= int_0^1u^t(1-u)f(u)duint_0^1v^t(1-v)f(v)dv$

$=int_0^1int_0^1u^tv^t(1-u)(1-v)f(u)f(v)dudv$

$therefore F_{t+1}F_{t-1}-F_t^2=int_0^1int_0^1u^{t-1}v^{t-1}(u^2-uv)(1-u)(1-v)f(u)f(v)dudv$

由於 $u,v$ 對稱

$F_{t+1}F_{t-1}-F_t^2=int_0^1int_0^1u^{t-1}v^{t-1}frac{(u^2-uv)+(v^2-vu)}{2}(1-u)(1-v)f(u)f(v)dudv$

$=frac{1}{2}int_0^1int_0^1u^{t-1}v^{t-1}(u-v)^2(1-u)(1-v)f(u)f(v)dudv ge 0$

故原命題得證。

那麼，為什麼我要問這道數學題呢？其實這背後有一個經濟學的想法。

我們都知道，每個人對於未來的收入或是效用都會有一個折現（discount），簡單地說就是認為明天的100塊不如今天的100塊值錢。對於這個「不值錢」的程度，經典的經濟學假設是，我們每一天的折現率（discount rate）都是固定的，通常記為 $delta$ 。根據這個假設，如果 $delta=frac{1}{2}$ ，那麼今天的50塊錢=明天的100塊錢，今天的25塊錢=明天的50塊錢=後天的100塊錢，也就是說， $t$ 天之後的錢只相當於今天同樣數目的錢的 $delta^t$ 倍。由於這是一個指數函數（Exponential），所以我們也將這種折現假設稱為「Exponential discounting」。

但是，行為經濟學發現，人們的折現在每一天並不都是相同的。比如說，我們對於今天的看重程度遠比之後的每一天都來得更高，可能在今天看來，今天的25塊錢=明天的100塊錢=後天的200塊錢=大後天的300塊錢。在一定的假設下，行為經濟學家計算出 $t$ 天之後的錢只相當於今天同樣數目的錢的 $frac{1}{1+tK}$ 倍，這樣畫出來的折現率是一條雙曲線（Hyperbola），因此這種折現假設被稱為「Hyperbolic discounting」.

當一個人表現出「Hyperbolic discounting」時，其行為往往會表現出「時間不一致性」（Time inconsistency），進而就會面臨成為Money Pump的可能（參見我的專欄文章《「非理性」與Money Pump》），因此我們認為這種人是非理性的；相應的，一個理性的人就應當表現出「Exponential discounting」。

現在，讓我們考慮一種集體的情況。假如我們有一群人，他們每個人都是理性的，因此表現出「Exponential discounting」，但是他們的 $delta$ 卻並不相同，那麼，如果我們只能以一個整體的形式觀察這群人，比如他們作為一個整體的總消費量等等，那麼這個整體的折現是什麼樣的呢？

為了進一步明確問題，考慮一個極為簡化的模型：

（1）把這個群體看作a continuum of mass one（我不太確定該如何翻譯這個概念……簡單來說就是把這個群體看成1份，而這個群體中有無數多個人，每個人只佔小到可以忽略的無窮分之一份）；

（2）整個群體的生涯總稟賦為1，因此每個個體的生涯總稟賦也是1；

（3）每個個體存活無限期；

（4）每個個體每一期的效用函數（稱為felicity function）是對數函數。

（5）每個個體的目標是最大化生涯總效用，也即

$displaystyle max_c U(c) = sum_{t=0}^inftydelta^t log(c_t)$ $s.t. sum_{t=0}^infty c_t = 1$

由於對數函數的特殊性質，我們很容易計算出每個個體的最優消費量為 $c_t = delta^t(1-delta)$ 。將每個個體加總到整個群體，我們就得到了整個群體在每期的消費量 $C_t =mathbb{E}[delta^t(1-delta)]$ 。注意到 $delta$ 表示的是折現率，因此必定在0和1之間。

如果整個群體仍然是「Exponential discounting」的，那麼和每個個體一樣，每期的消費量應該滿足 $frac{C_{t+1}}{C_t}$ 為常數，但從上述證明我們可以看出，除非這個群體當中每個人都有相同的 $delta$ ，否則 $frac{C_{t+1}}{C_t}$ 都是遞增的，這說明整個群體的表現更類似於「Hyperbolic discounting」而非「Exponential discounting」。

這就給出了標題中的結論：即使個體是理性的，整個群體仍有可能表現出非理性。

這個「將理性個體加總為非理性群體」的想法是我前兩天上習題課的時候琢磨出來的，本來還想著，如果能夠證明本文開頭的那個命題，那麼將會是一個非常有趣的結論，說不定還能留著以後寫一篇論文發Top 5頂刊呢。

那麼為什麼我又把這個想法寫成專欄公之於眾了呢？

因為我又意識到，既然這個問題並沒有那麼複雜，那絕對已經被人做過了啊！

於是我在Google Scholar上搜索了一下，結果證明，我的直覺還是不錯的：

其一，這個想法確實已經有人做過了；

其二，這個想法真的發到了Top 5頂刊！

圖盧茲大學的Christian Gollier和哈佛大學的Richard Zeckhauser在Journal of Political Economy的2005年8月刊上發表論文「Aggregation of Heterogeneous Time Preferences」，其中提到：

One of our key findings is that if individuals have heterogeneousnconstant rates of impatience, the representative agent will not in generalnuse a constant rate to discount the future, as Becker (1992) first observed. ......Under some realistic calibrationsnof the economy, the collective discount factor duplicates eithernthe hyperbolic case discussed by Loewenstein and Prelec (1991) or itsnsimplified beta-delta version (Laibson 1997)

當然啦，我上面給出的這點想法，大概連這裡面提到的Becker(1992)的水平都不到……

還是繼續乖乖學習吧……

(Photo Credit: "audience arms crowd" via Visualhunt)