（二）極值點偏移與Hermite–Hadamard不等式

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極值點偏移這件事在高考數學中有著重要地位，有許多的數學高考壓軸題都是以極值點偏移作為背景出題的，例如：

2016年數學全國卷I理21題
2010年數學天津卷理21題
2011年數學遼寧卷理21題
2013年數學湖南卷文21題

當考生看見這些問題時，往往都有一種雲里霧裡的感覺，感覺無從下手；又或是下手了，由於思路錯誤導致出現思維陷入僵局的局面。所以，如果能掌握處理極值點偏移的一般解題套路，便可直搗黃龍(????ω????)，當然對於有一類相對而言比較特殊的極值點偏移問題（例如16年全國卷I理21題）的解決辦法可以從Hermite–Hadamard不等式中找到更為簡潔的證明方案。下面我以16年全國卷I理21題為例子介紹一下這兩種方法：

2016年數學全國卷I理21題：

已知函數 $f(x)=(x-2)e^{x} +a(x-1)^{2}$ 有兩個零點.

求 $an$ 的取值範圍;
設 $x_{1},x_{2}$ 是 $f(x)n$ 的兩個零點，證明： $x_{1}+x_{2}<2$ .

分析與解：

分離參數後，數形結合便可求得 $ain (0,+infty )$ ;
一、套路法：構造下圖所示的對稱函數(????ω????)然後把原不等式轉化為一個證明一個恆成立問題即可。
後面證明這個恆成立問題就留給讀者自己證明了。PS：可以用我在上一篇文章知乎專欄中的重要不等式放縮即可證明。

那為什麼這個會叫做極值點偏移呢？顯然，由圖像可知，若極值點在兩根中間： $frac{x_{1}+x_{2}}{2} =1$ ，我們稱之為極值點居中，也就是不偏移。但是通過證明過程可以發現， $frac{x_{1}+x_{2}}{2} ne 1$ 而是 $frac{x_{1}+x_{2}}{2} <1$ ,也就是說極值點向右偏移了。