Bose Hubbard模型的Higgs Mode研究

01-31

狀態：未完待續

已完成部分：

Bose-Hubbard模型的解析理論初步建立（單site約化到3維Hilbert空間）
相圖計算

未完成部分：

Hubbard模型的一些簡單結果介紹（ongoing）
相變附近有效相對論性 $text{O}(2)$ 模型拉氏量導出（ongoing）
振幅、相位模式的計算
Anderson-Higgs機制
與GP方程計算的比較
實驗介紹

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主要參考文獻：PhysRevLett.89.250404，和Manuel Endres的博士論文。

一、Bose-Hubbard模型的介紹及某些極限下的行為

Bose Hubbard模型的Hamiltonian很廣為人知，

$H=frac{U}{2}sum_i(n_i-bar{n})^2-Jsum_{langle i,jrangle}a_i^dagger a_j-musum_i(n_i-bar{n})$

當然，很多人可能更熟悉它的另一個形式

$H=frac{U}{2}sum_in_i(n_i-1)-Jsum_{langle i,jrangle}a_i^dagger a_j-musum_in_i$

這兩者實際上是等價的，只差一個與 $bar n$ 相關的項，在後面計算不同佔據平均數的相變點才用到。一般第二種寫法更常見，但是第一種寫法也無可厚非，而且被PRL所採用。因此我把兩種都寫出來。

這三項都有很明確的物理意義。第一項為on-site的排斥能，即在同一個格點 $i$ 上有 $n_i$ 個粒子，從而兩兩之間有相互作用能，大小為 $U$ 。第二項則是相鄰的兩個格點的粒子可以互相蹦來蹦去，第三個則是化學勢的大小。

0. Hubbard模型的導出：Wannier函數

待續

1. Mott絕緣體與超流體態，以及相變

1.1. Mott絕緣體態

我們考慮一個有趣的極限： $J/Uto0$ ，最簡單的辦法就是取 $J=0$ 。一眼就能看出來這時候每個site有確定數目的粒子的態 $bigotimes_{i}|n_irangle$ 是本徵態。在這種情況下，顯然每個點上粒子數平均值就是 $n_i$ 、粒子數漲落為零。基態就是 $n_i=bar n$ ，偏離的就是激發態。

如果在一個Mott絕緣體態上面加一些粒子上去，則會得到一個幾乎自由的粒子+Mott絕緣體背景的行為，移去粒子亦然。這部分加/移去的粒子可以認為是(准)BEC的。可以想像，這種態貌似很苛刻：你的總粒子數必須是整數倍的site數；但是實際上根據你放進去的粒子數的多少很容易造成化學勢的偏差等等因素導致脫離這個範圍。

1.2. 超流態

另一個有趣的極限是 $U/Jto0$ ，也就是 $U=0$ 。這個時候做Fourier變換可以得到嚴格的解， $H_{text{SF}}=-Jsum_{langle i,jrangle}a_i^dagger a_j-musum_ia_i^dagger a_i$ ，令 $a_k^dagger=frac{1}{sqrt{N}}sum_je^{-ikj} a_j^dagger$ ，我們得到了動量空間的Hamiltonian： $H_{text{SF}}=-Jsum_k a_k^dagger a_kcos k-musum_k a_k^dagger a_k$

可以看到這個的能帶如下圖

在 $kto0$ 的時候，能量 $E_k=-Jcos k-musim-J-mu+frac{1}{2}k^2$ ，形式非常類似自由粒子的動能。而且我們可以看到這一項的能量實際上就是表示粒子動起來的能量，因此這一項就是我們常說的動能項（Kinetic Energy）。

自然啦，這種時候的基態就是 $|Psirangleproptoleft(a_{k=0}^daggerright)^N|0rangleproptoleft(sum_ia_i^daggerright)^N|0rangle$ 。可以看出，在粒子數很多（ $Ntoinf$ ）的熱力學極限下，這個態與相干態是類似的。相干態定義為 $|alpharangle=e^{alpha a^dagger}|0rangle$ ，其性質為 $a|alpharangle=alpha|alpharangle$ ，從而

可以看到這裡的粒子數漲落情況。為什麼說在熱力學極限下基態類似為相干態呢？因為

$a_j|Psirangle=left[a_j,left(sum_ia_i^daggerright)^Nright]Bigg|0Biggrangle+left(sum_ia_i^daggerright)^Na_j|0rangle=left[a_j,left(sum_ia_i^daggerright)^Nright]Bigg|0Biggrangle=Nleft(sum_ia_i^daggerright)^{N-1}Bigg|0Biggranglesim N|Psirangle$

這種性質幾乎可以認為是相干態。而一個普遍的相干態（不非得是這裡的） $bigotimes_ie^{alpha_i a_i^dagger}|0rangle$ 存在一個非對角長程序 $lim_{|i-j|toinfty}G^{(1)}(i,j)=lim_{|i-j|toinfty}langle b_i^dagger b_jrangleneq0$ 。這個量是一個實驗可以觀測的量，我們後面會說它的。那麼，超流體系的集體激發性質是怎樣的呢？這就是這篇專欄的部分目的所在：超流態的Nambu-Goldstone modes的性質研究。在這裡先告訴大家它是無能隙的線性色散，而正是這種色散導致了無阻流動這一事實。

考慮一個體系的激發的色散是無能隙線性色散，有一個擾動粒子試圖被以別的動量散射走而產生『阻力』，能量、動量守恆為

$m_0{bf v}_i + {bf q} = m_0{bf v}_f,quad frac{m_0{bf v}_i^2}{2} = frac{m_0{bf v}_f^2}{2} + c|{bf q}|$

解得 $frac{{bf q}^2}{2m_0} = {bf v}_i{bf cdot q} - c|{bf q}|$ ，發現，如果 $|{bf v}_i|<c$ 則僅有 ${bf q}=0$ 的解，即不存在散射。

1.3. 相變

我們可以看到，單site上粒子的漲落已經成為兩種態截然不同的性質了，

至於相變的具體條件，我們在第二大部分講。

值得一提的是，如後文圖2（也就是題圖）中的相圖，某一個恆定的 $J/U$ 和 $mu/U$ 對應一個恆定的點，其這個參數下Hamiltonian的單粒子激發能隙為到Mott絕緣體邊界輪廓的距離，上/下距離對應是產生還是湮滅型激發。

2. 實際過程中的種種問題

4. 原位成像（in situ imaging）

4.1 熒光

4.2 熱力學溫度測量

5. 關聯函數

二、一些Bose-Hubbard模型的解析理論

考慮Hubbard Model在超流-Mott絕緣體相變點附近的行為。在Mott絕緣體一側，每個site上有恆定粒子數 $n$ 。如果稍加微擾，可以認為在第 $i$ 個site上的粒子可以用 $|n-1rangle,|nrangle,|n+1rangle$ 展開。而這實際上很類似我們處理的對spin-1的粒子的三個基： $|J_z=1,0,-1rangle$ ，我們也確實打算這麼處理。於是接下來我們先建立一個一一對應的關係，定義 $|n+alpharangle_i=t_{i,alpha}^dagger|0rangle_i$ ，其中 $alpha=1,0,-1$ 。很顯然， $hat n_i-bar n=t_{i,1}^dagger t_{i,1}-t_{i,-1}^dagger t_{i,-1}$ 。根據我們之前的想法，規定 $S_{i,z}=t_{i,1}^dagger t_{i,1}-t_{i,-1}^dagger t_{i,-1}$ ，是很合理的。同樣，規定角動量升算符 $S_i^+$ 自然就是將 $|bar n-1rangle$ 升為 $|bar nrangle$ ，而 $|bar nrangle$ 升為 $|bar n+1rangle$ 。因此 $S_i^+=sqrt{2}(t_{i,1}^dagger t_{i,0}+t_{i,0}^dagger t_{i,-1})$ ，降算符取共軛。另一方面，原本的玻色子算符 $a_i^dagger|bar n-1rangle=sqrt{bar n}|bar nrangle, a_i^dagger|bar nrangle=sqrt{bar n+1}|bar n+1rangle$ ，因此， $a_i^dagger=sqrt{bar n}t_{i,0}^dagger t_{i,-1}+sqrt{bar n+1}t_{i,1}^dagger t_{i,0}$ 。在大粒子數的情況下， $a_i^daggersimsqrt{bar n}(t_{i,0}^dagger t_{i,-1}+t_{i,1}^dagger t_{i,0})=frac{sqrt{bar n}}{sqrt{2}}S_i^+$

於是我們就可以建立有效Hamiltonian：

$H_{text{eff}}=frac{U}{2}sum_iS_{i,z}^2-Jbar nsum_{langle i,jrangle}(S_{i,x}S_{j,x} + S_{i,y}S_{j,y})-musum_iS_{i,z}$ 。

定義『序參量』 $Psi({bf x}_i)=sqrt{bar n}langle S_i^+rangle$ ，我們知道可以把經典的自由能按照這個序參量展開，運氣好的話我們就可以得到大家平統裡面都學過的喜聞樂見的Higgs Mode（如圖1）。

圖1：振幅Higgs模式和相位Nambu-Goldstone模式。在耦合強弱的不同區間，激發的位置不同（②，③的區別）。

可以想像，在我們的等效spin-1形式的Hamiltonian下，

$H_{text{eff}}=frac{U}{2}sum_iS_{i,z}^2-Jbar nsum_{langle i,jrangle}(S_{i,x}S_{j,x} + S_{i,y}S_{j,y})-musum_iS_{i,z}$

每個site上的自旋有繞 $z$ 的旋轉 $text{O}(2)$ 對稱性，因此下面這個基可以認為是一個很一般的均勻態的基（這隻對Mott絕緣體態適用，因為絕緣體態的粒子數漲落為零而SF不是）：

$left(begin{matrix}ne^{i(eta+varphi)}sinfrac{theta}{2}sinfrac{chi}{2}ncosfrac{theta}{2}ne^{i(eta-varphi)}sinfrac{theta}{2}cosfrac{chi}{2}nend{matrix}nright)$

選取的規範條件為 $t_0^dagger|0rangle$ 前面的係數為實數。對於的 $theta=0$ 就是Mott絕緣體態， $theta>0$ 對應的序參量為 $Psi({bf x}_i)=sqrt{bar n}langle S_i^+rangle=sqrt{2bar n}sinfrac{theta}{2}cosfrac{theta}{2}left(e^{i(eta-varphi)}cosfrac{chi}{2}+e^{-i(eta-varphi)}sinfrac{chi}{2}right)proptosqrt{bar n}sintheta$

求出的在

$|Phirangle=prod_jbegin{matrix}(|S_{j,z}=1ranglequad |S_{j,z}=0rangle quad |S_{j,z}=-1rangle) nnnend{matrix}left(begin{matrix}ne^{i(eta+varphi)}sinfrac{theta}{2}sinfrac{chi}{2}ncosfrac{theta}{2}ne^{i(eta-varphi)}sinfrac{theta}{2}cosfrac{chi}{2}nend{matrix}nright)$

這個態下的能量平均值（然後分攤到每個site上），然後就可以對求最低值得到臨界的 $mu_c$ 。平均能量：

$e_{text{site}}=left(frac{U}{2}+coschiright)sin^2frac{theta}{2}-frac{Jzbar{n}}{4}sin^2thetaleft(1+frac{sin^2dfrac{chi}{2}}{bar n}+sqrt{1+frac{1}{bar n}}sinchicos2etaright)$

其中 $z$ 是配位數，即一個site周圍臨近的site數。對二維方格子來說就是 $z=4$ 。把這個能量對 $eta, theta, chi$ 求導，得到極值

$mu_c=-frac{1}{8bar n u}pmfrac{1}{2}sqrt{1-frac{1}{u}left(1+frac{1}{2bar n}right)+frac{1}{(4bar n u)^2}}$

圖2即為大家見過很多次的那個Hubbard模型相圖，其中要補充忽略掉的在同一個 $bar n$ 時的常數化學勢部分 $bar nU$ （當然這個方法只能算是一個變分法計算，還是在很強的anstaz下面做的，算到的結果不算很准）。

圖2：二維方格子的Bose—Hubbard模型的解析相圖。在小突起裡面是Mott Insulator，外面是SF。深色橢圓形陰影區為臨界點附近，也就是我們研究的區域。

好，我們先有了基態，然後研究激發形式。在 $thetato0$ 的時候， $t_0^dagger$ 佔主導而 $t_1^dagger, t_{-1}^dagger$ 幾乎沒有。