標籤：

大學物理物理学量子物理

狄拉克方程的提出

01-30

我們知道，薛定諤方程是非相對論性的，而K-G方程是相對論性的。但K-G方程存在著兩個困難，一個是負概率困難，另一個是負能量困難。狄拉克於1928年提出了新的相對論性量子力學方程，被後人稱為狄拉克方程。狄拉克方程解決了K-G方程的負概率困難。

相對論下，經典的能量-動量關係式為： $E^2=c^2p^2+ m^2c^4$

模仿上述形式，則在量子情形下，能量-動量算符關係式為：

$hat{H} = pm sqrt{hat{p}^2+m^2c^4}=pm sqrt{hat{p_x}^2+hat{p_y}^2 +hat{p_z}^2 +m^2c^4}$ (1)

此時算符在根號中，這不是量子力學的標準形式。

因此狄拉克於1928年，提出哈密頓量算符與動量分量的關係應該是線性相關的形式

$hat{H}=pm c (a_x hat{p_x} +a_y hat{p_y} +a_z hat{p_z} +beta m c)$ (2)

其中 $a_i,beta$ 為待定係數。

對比（1），（2）式，同時取平方得

$hat{p_x}^2+hat{p_y}^2+hat{p_z}^2+m^2c^4= c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)cdot c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)$

於是待定係數滿足以下關係式（注意算符乘積的先後次序）

$a_x^2=a_y^2=a_z^2=beta^2=1$ $a_xa_y+a_ya_x=0$

$a_xa_z+a_za_x=0$

$a_ya_z+a_za_y=0$

$a_xbeta+beta a_x=0$

$a_y beta+ beta a_y=0$

$a_z beta+ beta a_z=0$

從以上關係式可以看出，四個係數是對稱的。

但上述方程組在實數和複數域內均無非零解。狄拉克認為此時可以將四個係數都看成是 $4 times 4$ 的矩陣，可以驗證，以下矩陣可以滿足上述方程組。

$a_1= left( begin{array}{ccc} n0 & sigma_x nsigma_x & 0 nend{array}nright)$

$a_2= left( begin{array}{ccc} n0 & sigma_y nsigma_y & 0 nend{array}nright)$

$a_3= left( begin{array}{ccc} n0 & sigma_z nsigma_z & 0 nend{array}nright)$

$beta= left( begin{array}{ccc} nI & 0n0 & -Inend{array} right)$

其中 $sigma$ 代表 $2 times 2$ 的泡利矩陣。

哈密頓量算符 $hat{H}=c a_i cdot hat{p_i}+beta m c^2,i=x,y,z$

則自由粒子的狄拉克方程為 $i hbar frac{partial}{partial t} psi=hat{H}psi$ ，形式上與薛定諤方程類似，但哈密頓量算符的具體形式是不同的。

參考資料

【1】《量子力學卷II》曾謹言

【2】《狄拉克相對論電子方程的成就與影響》 [J] 張同意，商洛師專學報(1996).

【3】《The quantum theory of the electron》 [J] Dirac，Proceedings of the Royal Society of London. Series A(1928).

推薦閱讀：

※文盲讀量子力學比屌絲追高圓圓還難，蛋是… | 每周讀一本書改變相貌016《量子力學史話》（下）
※算符及其運算規則
※想要了解量子力學，有哪些通俗易懂點的讀物？

TAG:物理学 | 大学物理 | 量子物理 |