算符及其運算規則

01-30

在物理學中，算符是一個函數，它作用於物理系統的物理態，使其轉變到另一個態。算符的應用最簡單的例子就是關於對稱性的研究。因此，它們是經典力學中非常有用的工具。算符在量子力學中更加重要，在量子力學中它們構成理論形式的內在部分。

什麼是算符？

算符就是對一個函數做一次運算或者操作，將其轉換為另一個函數。

或者是兩個函數或者向量之間的映射關係，在Bra-Ket記法中，可以記為

$hat{A}|x>=|y>$

在經典力學中，粒子（或粒子系統）的 $L(q,{dot {q}},t)$ 運動完全由拉 Lagrangian $L(q,{dot {q}},t)$ 決定

或者等價的Hamiltonian $H(q,p,t)$ 決定，它們是廣義坐標q、廣義速度 ${displaystyle {dot {q}}=mathrm {d}}q/{mathrm {d}}t$ 、以及共軛動量 $p={frac {partial L}{partial {dot {q}}}}$

如果L或H獨立於廣義坐標q，意味著當q改變時，L和H不改變，這又意味著即使當q改變時，粒子的動力學過程仍然相同，則相應的廣義坐標對應的共軛動量是守恆的（這是Noether定理的一部分*）。經典力學中的運算元與這些對稱性有關。

更技術上，當H在某一組變換G的作用下不變時：

$Sin G,n$ $H(S(q,p))=H(q,p)$ .

G的元素是物理運算符，在物理態之間映射。

與物理系統的每一個可測量相對應的是量子力學算符。算符之所以出現在量子力學中，是因為在量子力學裡，我們需要用波函數來描述系統的運動狀態。

常用算符