作者：Epilogue 原文鏈接：時間序列分析補充----結合ARMA的卡爾曼濾波演算法

前言

一直也希望能夠把自己的知識共享出去，為社區補充一些東西，前段時間恰好讀到了 @fyiqi 寫的「金融時間序列分析入門（一）~（四）」，覺得其深入淺出地介紹一些理論知識的模式比較合適，因為確實一些基礎且實用的理論在社區內還沒被介紹過。比如卡爾曼濾波，在社區里幾乎沒有對它的介紹與演算法實現，因此在本貼中希望能夠在一定程度上將其補充~

本文一定程度上是對 @fyiqi 的「金融時間序列分析入門（一）~（四）」的補充，會用到其中的一些概念（如ARMA模型）

卡爾曼濾波簡介

卡爾曼濾波演算法是通過系統輸入輸出觀測數據（在本貼中為HS300日對數收益率），對系統狀態進行最優估計的演算法。由於觀測數據中包括系統（市場）中的雜訊和干擾的影響，所以最優估計也可看作是濾波過程。

卡爾曼濾波無論是在對過去值的估計（插值或平滑）、對現在值得估計（濾波）以及對將來值的估計（預測）方面都有著比較重要的作用。在本帖中主要介紹在預測方面的實現方法，希望能夠給需要用到此類方法的礦友一些啟發~

在將卡爾曼濾波演算法與ARMA模型結合時，卡爾曼濾波演算法可以在當獲得一個新的數據點（）時，遞歸地更新狀態變數（預測值）的信息，可以起到對ARMA模型的修正作用，在一定程度上提高ARMA模型的預測精度。

演算法實現 part 1

首先，提取出，即HS300的日對數收益率

提取2015年去年HS300收盤價及對數收益率

一、狀態空間模型與ARMA

要卡爾曼濾波，首先要引入狀態空間模型。在這裡，「狀態」與「測量」相對，表示從數據中移除測量誤差。

在介紹狀態空間模型時，我們由淺入深，首先引入一元的局部趨勢模型

1.1 局部趨勢模型

首先考慮一元時間序列（HS300日對數收益率），局部趨勢模型滿足

初始狀態s1～N(μ1|0,Σ1|0)，其中μ1|0，Σ1|0是給定的。

1.3 ARMA模型與線性狀態空間之間的轉換

ARMA模型的詳細解讀請參照「金融時間序列入門（二）----MA & ARMA & ARIMA」

在下面的過程中，令=0（當≠0時，則在中將其減去，得到均值為0的），並令m=max(p,q+1)（後面的討論中為了簡便，只討論令m=p的情況）

此時，可以令ARMA(p,q)=ARMA(m,m-1)，其中如m=q-1，則?p+1,?,?m=0；如m=p，則θq+1,?,θm?1=0

演算法實現 part 2

下面進入ARMA模型的演算法實現部分

ARMA模型：通過信息準則定階（詳細解讀參照「金融時間序列入門（一））

(aic-order: , (3, 2))

n(bic-order: , (2, 2))

(hqic-order: , (2, 2))

bic與hqic均給出ar階數為2，又根據前面假設：p >= q+1，故令order = (2,1)

ljung-box檢驗（檢驗殘差序列是否存在滯後相關）

AC Q Prob(>Q)

lag n1.0 0.001445 0.000514 0.98192

2.0 0.018605 0.086024 0.957900

3.0 -0.002259 0.087289 0.993318

4.0 0.083168 1.810307 0.770596

5.0 0.051584 2.475918 0.780117

6.0 -0.096262 4.803670 0.569229

7.0 -0.006572 4.814565 0.682581

8.0 0.140752 9.833538 0.276904

9.0 -0.024263 9.983311 0.351838

10.0 -0.102196 12.651893 0.243791

11.0 -0.115016 16.046571 0.139411

12.0 0.072517 17.401897 0.135094

13.0 0.111749 20.634319 0.080483

14.0 -0.075790 22.127649 0.076029

15.0 -0.005695 22.136117 0.104284

16.0 0.097925 24.651090 0.076217

17.0 0.015490 24.714301 0.101290

18.0 -0.015433 24.777319 0.131174

19.0 -0.010715 24.807835 0.166965

20.0 0.114525 28.309448 0.102274

21.0 0.162293 35.372962 0.025685

22.0 -0.043516 35.883094 0.031254

23.0 -0.100106 38.594945 0.021968

24.0 -0.004349 38.600087 0.030066

25.0 0.055229 39.433107 0.033318

26.0 -0.130746 44.123087 0.014662

27.0 -0.055123 44.960590 0.016417

28.0 0.055733 45.820698 0.018188

29.0 0.085124 47.836577 0.015282

30.0 -0.133892 52.847294 0.006163

31.0 -0.093931 55.325033 0.004608

32.0 -0.033918 55.649630 0.005918

33.0 0.061328 56.715913 0.006285

34.0 0.107805 60.026497 0.003847

35.0 -0.060198 61.063710 0.004126

36.0 0.088619 63.322414 0.003275

37.0 0.056958 64.260011 0.003593

38.0 -0.013537 64.313233 0.004847

39.0 -0.017196 64.399532 0.006412

40.0 0.014103 64.457863 0.008440

通過ljung-box檢驗，判斷殘差序列是否存在滯後相關。得到滯後20階以內的p-value均大於0.05，故可以判斷殘差中沒有顯著的序列相關性，可以進行下一步分析。

1.3.1 Harvey方法：推導

將ARMA轉化為狀態空間模型主要有Akaike、Harvey、Aoki三種方法，在這裡只介紹較為常用的Harvey方法。1.3.1節的推導過程中公式較多，但邏輯清晰，讀起來不會費力。不過側重於應用的小夥伴可以跳過該節，直接看Harvey方法的結論與演算法實現部分

推導過程如下：

Harvey方法中，給出了具有m維狀態向量的狀態空間的一種形式，該狀態向量的第一個元素是yt，即=。的其他元素通過遞歸得到。 由ARMA(m,m-1):

上式中：

繼續，考慮，可以得到：

可以得到

繼續，可以得到→→→→?→ 根據遞歸，有：

最終有

1.3.2 Harvey方法：結論

將上述方程綜合起來，我們得到如下形式的狀態空間模型：

Qt=。在(3)式中，AR與MA的係數被直接用在了系統矩陣里。

演算法實現 part 3

下面進入Harvey方法的演算法實現部分，參見原文查看

二、結合ARMA模型的卡爾曼濾波演算法

2.1 卡爾曼濾波基本公式

卡爾曼濾波（Kalman filter）的目標是：當獲得一個新的數據點時，遞歸地更新狀態變數的信息，即遞歸地得到在給定數據Ft=y1,?,yt條件下st+1的條件分布和模型。由於卡爾曼濾波早已有成型的公式，因此公式的推導過程在這裡不做贅述，直接給出。

對於（2）式所給出的狀態空間模型，給定初始值s1|0,Σ1|0，卡爾曼濾波的演算法為（公式中上角標T表示轉置）：

2.2 結合ARMA模型的卡爾曼濾波演算法

對於由Harvey方法（即（3）式）所給出的狀態空間模型，給定初始值s1|0,Σ1|0，卡爾曼濾波的演算法為（公式中上角標T表示轉置）：

其中T，R，Qt 均由Harvey方法給出。

確定初始值s1|0,Σ1|0的方法：

演算法實現 part 4

下面進入卡爾曼濾波預測的演算法實現部分

預測收益率一步漲跌準確率——ARMA + Kalman：0.555555555556

預測收益率一步漲跌準確率——ARMA：0.469135802469

可以看到，相比於ARMA模型的擬合結果，ARMA+卡爾曼濾波演算法所得到的擬合結果更為平滑，說明在經過卡爾曼濾波調整之後，對於雜訊過濾效果更好。因此，利用卡爾曼濾波對時間序列進行平滑是大有可為的。同時，在預測收益率一步漲跌時，ARMA+卡爾曼濾波演算法相比於單純的ARMA演算法來說，準確度有了近10%的提高。雖然相對其他諸如機器學習等預測方法來說，預測準確度還不夠，但卡爾曼濾波對於ARMA的調整效果值得借鑒。

參考文獻

《金融時間序列分析》 第2版 Ruey S.Tsay著 王輝、潘家柱 譯

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