漫談Simulink: 隱式和顯式的Solver

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在進行模擬，或者數值求解微分方程的時候，首先需要選擇的是採用什麼樣的Solver(求解器）。Solver可以分為兩大類: implicit (隱式）和explicit (顯式），例如MATLAB/Simulink中的ode45就是一個explicit solver， 而ode23s則是一個implicit solver。

從概念上來講，這兩類solver的差別在哪裡呢？

請看下面的例子

考慮這樣一個微分方程

... (1)

1）如果要對它進行模擬，我們需要對x的導數進行數值逼近。explicit的方法採用的是前向逼近, 例如

...... (2)

２）implicit的方法則使用後向逼近，例如

...... (3)

可以看到，這裡唯一的區別是f(x)中的x是上一步的x還是下一步的x.

這兩種處理方法會有什麼樣的優缺點呢？

1） 首先看Explicit方法，由(2) 可以得到

... (4)

通過這個式子我們可以方便的遞推出所有離散時間點的x的值。但是，假如（1）可以寫成如下的形式，那麼我們看看會發生什麼

... (5)

根據上面的推導，這個時候(4)變為

... (6)

注意到(5）本身是一個穩定的系統（因為特徵根-100<0），但是(6)則不一定穩定，因為特徵根取決於步長, 如果步長大於0.02，那麼(6)會變成一個不穩定的離散系統。這就是所謂的數值不穩定性。

因此，對於這種增益非常大的系統，用explicit solver的時候，往往會感覺模擬比較慢。這是因為步長必須足夠的小。

在Simulink中，用ode45模擬如下系統

從0-10s這個區間內，產生的時間點大於300個。

2） 我們再看看implicit的解法，由（3）可以得到

...... (7)

注意到式(7)中如果不用泰勒展開的話，是沒有辦法把顯式的表達出來的，因此這種方法被稱為implicit.

由此，(7) 可以繼續推導出

... (8)

觀察一下(8)我們可以看到，求解的過程中需要知道， 這是被模擬系統的梯度，也可以稱為Jacobian （雅克比矩陣）. 這個矩陣在數值求解過程中可以通過解析表達式進行計算，或者通過數值方法擾動來近似。這也是為什麼在Simulink中，如果選擇了implicit solver，會出現一些關於Jacobian的選項, 如下圖。具體每個選項的含義這裡不展開講了。

另外，如果把（5）代入（8）, 會得到

由此可看出，不管步長取多大，都不會有數值不穩定。

為驗證這一點，可以用ode23s來模擬同一個系統

在0-10s這個區間內，產生的採樣時間點小於70個，遠小於使用ode45產生的300多個。

由此，我們可以總結一下兩種solver的特點：

1. Explicit Solver 不需要計算系統的Jacobian, 但是可能會需要很小的步長來保持數值穩定性。這有可能會影響模擬的速度。

2. Implicit Solver 需要計算系統的Jacobian, 這個步驟本身會消耗一定的時間，但是由於步長相對可以取的比較大，在某些情況下有可能比Explicit Solver速度更快。

當然了，最終具體用哪種Solver來模擬, 還要根據模型自身的特性來決定。而這不是一個簡單的事情。

在MATLAB R2015b中， Simulink增加了Auto solver這個選項，可以幫助用戶選擇最合適的Solver, 詳見： Use Auto Solver to Select a Solver

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