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自由電子氣模型與費米球

01-30

自由電子氣模型的勢函數即為無限深方勢阱

$V(x,y,z)=0,0<x<L_x,0<y<L_y,0<z<L_z$ (盒子內部的勢為0)

$otherwise V(x,y,z)=+infty$ (盒子外部的勢為無窮大)

則勢阱內的定態薛定諤方程為 $-frac{hbar ^2}{2m} triangledown ^2 psi =E psi$

解的形式即為自由電子波函數 $psi = A e^{i vec{k} cdot vec{r}}n$

由周期性邊界條件有

$psi(x,y,z)=psi(x+L_x,y,z)$

$psi(x,y,z)=psi(x,y+L_y,z)$

$psi(x,y,z)=psi(x,y,z+L_z)$

將波函數的形式代入可得

$e^{ik_i L_i}=1, i=x,y,z$

因此有

$k_i=frac{2 pi n_i}{L_i} , i=x,y,z , n_i in Z$

寫成矢量形式有

$vec{k}=frac{2 pi }{L_x}n_x vec{i} +frac{2 pi }{L_y}n_y vec{j} +frac{2 pi }{L_z}n_z vec{k} , n_x,n_y,n_z in Z$

即電子的波矢 $vec{k}$ 只能取一系列的離散值，即波矢被量子化了！而且波矢 $vec{k}$ 在空間中的分布是均勻的，每個態佔據的體積為

$frac{(2 pi)^3}{L_x L_y L_z}= frac{8 pi^3}{V}$

假設固體總共有 $N$ 個原子，每個原子貢獻 $q$ 個自由電子，由於泡利不相容原理，每份體積 $frac{ 8 pi^3}{V}$ 最多只能容納2個電子（自旋向上與自旋向下），電子從能量最低的地方開始往上填充，直到所有電子都用完。因此可以求出 $k$ 空間中，費米球的半徑 $k_F$ .

$2 frac{ frac{4}{3} pi k_F^3}{ frac{8 pi^3}{V}}=Nq$

因此費米球半徑 $k_F=(3 rho pi^2)^{ frac{2}{3}}, rho= frac{Nq}{V}$ 為自由電子數密度。

費米面即為 $k$ 空間中被佔據的電子和未必佔據的電子態的分界面，費米面對於的能量便稱為費米能。由色散關係有，費米能

$E_F=frac{hbar ^2}{2m}k_F^2$

由球殼積分法可求出自由電子氣總能量。

自由電子氣模型部分解釋了金屬在0K下的性質，且模型相對簡單，容易求解，是量子固體理論的初步探索。

參考資料

【1】《量子力學概論》大衛|格里菲斯

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