神經網路-全連接層（1）

01-30

本文收錄在無痛的機器學習第一季。

寫在前面：感謝@夏龍對本文的審閱並提出了寶貴的意見。

接下來聊一聊現在大熱的神經網路。最近這幾年深度學習發展十分迅速，感覺已經佔據了整個機器學習的「半壁江山」。各大會議也是被深度學習佔據，引領了一波潮流。深度學習中目前最火熱的兩大類是卷積神經網路（CNN）和遞歸神經網路（RNN），就從這兩個模型開始聊起。

當然，這兩個模型所涉及到概念內容實在太多，要寫的東西也比較多，所以為了能把事情講得更清楚，這裡從一些基本概念聊起，大神們不要覺得無聊啊……

今天扯的是全連接層，也是神經網路中的重要組成部分。關於神經網路是怎麼發明出來的這裡就不說了。全連接層一般由兩個部分組成，為了後面的公式能夠更加清楚的表述，以下的變數名中上標表示所在的層，下標表示一個向量或矩陣內的行列號：

線性部分：主要做線性轉換，輸入用X表示，輸出用Z表示
非線性部分：那當然是做非線性變換了，輸入用線性部分的輸出Z表示，輸出用X表示。

線性部分

線性部分的運算方法基本上就是線性加權求和的感覺，如果對於一個輸入向量 $x=[x_0,x_1,...x_n]^T$ ，線性部分的輸出向量是 $z=[z_0,z_1,z_2,...z_m]^T$ ，那麼線性部分的參數就可以想像一個m*n的矩陣W，再加上一個偏置項 $b=[b_0,...b_m]^T$ ，於是有：

$W*x+b=z$

線性部分做了什麼事情呢？簡單來說就是對輸入數據做不同角度的分析，得出該角度下對整體輸入數據的判斷。

這麼說有點抽象，舉一個實際點的例子，就拿CNN的入門case——MNIST舉例。MNIST的例子在此不多說了，它是一個手寫數字的識別項目，輸入是一張28*28的二值圖，輸出是0-9這是個數字，這裡假設我們採用完全全連接的模型，那麼我們的輸入就是28*28=784個像素點。數據顯示到屏幕上大概是這個樣子：

對於我們來說，這個像素點都太過於抽象了，我們無法判斷這些像素點的取值和最終識別的關係:

他們是正相關還是負相關？

很顯然，像素點之間是存在相關關係的，這個關係具體是什麼我們後面再說，但存在關係這件事是板上釘釘的。所以只給每一個像素點一個權重是解決不了問題的，我們需要多組權重。

我們可以

1）在第一組權重中給第一個像素一個正數，第二個也是正數，

2）在第二組權重中給第一個像素負數，而第二個還是正數……

這樣，我們相當於從多個角度對輸入數據進行分析匯總，得到了多個輸出結果，也就是對數據的多種評價。

非線性部分

非線性部分有一些「套路」函數，這裡只說下其中的一個經典函數——sigmoid。它的函數形式如下所示：

$f(x)=frac{1}{1+e^{-x}}$

圖像如下所示：

這個函數的輸入正是我們上一步線性部分的輸出z，此時z取值範圍在 $(-infty ,+infty)$ ，經過了這個函數就變成了 $(0,1)$ 。

那非線性部分為什麼要做這個函數轉換呢？以我的粗淺理解，其中的一個作用就是作數據的歸一化。不管前面的線性部分做了怎樣的工作，到了非線性這裡，所有的數值將被限制在一個範圍內，這樣後面的網路層如果要基於前面層的數據繼續計算，這個數值就相對可控了。不然如果每一層的數值大小都不一樣，有的範圍在（0，1），有的在（0，10000），做優化的時候優化步長的設定就會有麻煩。

另外一個作用，就是打破之前的線性映射關係。如果全連接層沒有非線性部分，只有線性部分，我們在模型中疊加多層神經網路是沒有意義的，我們假設有一個2層全連接神經網路，其中沒有非線性層，那麼對於第一層有：

$W^0*x^0+b^0=z^1$

對於第二層有：

$W^1*z^1+b^1=z^2$

兩式合併，有

$W^1*(W^0*x^0+b^0)+b^1=z^2$

$W^1*W^0*x^0+(W^1*b^0+b^1)=z^2$

所以我們只要令 $W^{0}=W^1*W^0$ , $b^{0}=W^1*b^0+b^1$ ，就可以用一層神經網路表示之前的兩層神經網路了。所以非線性層的加入，使得多層神經網路的存在有了意義。

另外還有一個比較有名的非線性函數，叫做雙曲正切函數。它的函數形式如下所示：

$f(x)=frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

這個長得很複雜的函數的範圍是(-1,1)。可以看出，它的函數範圍和前面的sigmoid不同，它是有正有負的，而sigmoid是全為正的。

神經網路的模樣

實際上對於只有一層且只有一個輸出的神經網路，如果它的非線性部分還使用sigmoid函數，那麼它的形式和邏輯斯特回歸（logistic regression）是一樣的。所以可以想像神經網路模型從概念上來看比邏輯斯特回歸要複雜。那麼它的複雜的樣子是什麼樣呢？下面給出一段全連接層的代碼，開始做實驗：

class FC:n def __init__(self, in_num, out_num, lr = 0.01):n self._in_num = in_numn self._out_num = out_numn self.w = np.random.randn(out_num, in_num) * 10n self.b = np.zeros(out_num)n def _sigmoid(self, in_data):n return 1 / (1 + np.exp(-in_data))n def forward(self, in_data):n return self._sigmoid(np.dot(self.w, in_data) + self.b)n

從代碼上看東西並不多嘛，注意到我們會對參數中的w進行隨機初始化，有時我們會讓老天隨機一個神經網路給我們，我們也可以看看隨機大帝的旨意。

為了方便可視化，這裡只做輸入為2，輸出為1的數據。好了，先來看1號選手：

x = np.linspace(-10,10,100)ny = np.linspace(-10,10,100)nX, Y = np.meshgrid(x,y)nX_f = X.flatten()nY_f = Y.flatten()ndata = zip(X_f, Y_f)nnfc = FC(2, 1)nZ1 = np.array([fc.forward(d) for d in data])nZ1 = Z1.reshape((100,100))ndraw3D(X, Y, Z1)n

定睛一看這其實就是一個標準的Logistic Regression。他的圖像如下所示：

經過多次隨機測試，基本上它都是這個形狀，只不過隨著權重隨機的數值變化，這個「台階」對旋轉到不同的方向，但歸根結底還是一個台階。

這也說明1層神經網路是沒有出路的，它本質上還是個線性分類器的實力，那麼小夥伴還給它加一層吧：

fc = FC(2, 3)nfc.w = np.array([[0.4, 0.6],[0.3,0.7],[0.2,0.8]])nfc.b = np.array([0.5,0.5,0.5])nnfc2 = FC(3, 1)nfc2.w = np.array([0.3, 0.2, 0.1])nfc2.b = np.array([0.5])nnZ1 = np.array([fc.forward(d) for d in data])nZ2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1])nZ2 = Z2.reshape((100,100))nndraw3D(X, Y, Z2)n

這次我們暫時不用隨機權重，而是自己設置了幾個數值，可以看出，參數設置得很用心。兩層全都是正數……，那麼圖像呢？

看上去比之前的台階「柔軟」了一些，但歸根結底還是很像一個台階……好吧，那我們加點負權重，讓我們從兩個方面分析輸入數據：

fc = FC(2, 3)nfc.w = np.array([[-0.4, 1.6],[-0.3,0.7],[0.2,-0.8]])nfc.b = np.array([-0.5,0.5,0.5])nnfc2 = FC(3, 1)nfc2.w = np.array([-3, 2, -1])nfc2.b = np.array([0.5])nnZ1 = np.array([fc.forward(d) for d in data])nZ2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1])nZ2 = Z2.reshape((100,100))nndraw3D(X, Y, Z2)n

趕緊上圖：

加了負權重後，看上去終於不那麼像台階了，這時候2層神經網路的非線性能力開始顯現出來了。下面把權重交給隨機大帝：

fc = FC(2, 100)nfc2 = FC(100, 1)nnZ1 = np.array([fc.forward(d) for d in data])nZ2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1])nZ2 = Z2.reshape((100,100))ndraw3D(X, Y, Z2,(75,80))n

上圖：

這時候的非線性已經非常明顯了,我們不妨繼續加幾層看看DNN的厲害：

fc = FC(2, 10)nfc2 = FC(10, 20)nfc3 = FC(20, 40)nfc4 = FC(40, 80)nfc5 = FC(80, 1)nnZ1 = np.array([fc.forward(d) for d in data])nZ2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1])nZ3 = np.array([fc3.forward(d) for d in Z2])nZ4 = np.array([fc4.forward(d) for d in Z3])nZ5 = np.array([fc5.forward(d) for d in Z4])nZ5 = Z5.reshape((100,100))ndraw3D(X, Y, Z5,(75,80))n

這個圖看上去又複雜了許多……

從上面的實驗中可以看出，層數越高，非線性的「能力」確實越強，腦洞開得也越大。

知道了他的厲害，下回我們將詳細聊下它的求解方法——反向傳播（Back Propagation）。

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