微腔光子學-變形腔部分，a review

01-30

我的某一門課叫光學前沿，專門給大一-大三的學生開的，用來全面的了解光學這個領域（刷分）。作為一隻??，我也選了，試圖彌補績點。期末是一篇review，作為本科科研的最重要部分，我決定把我所做的領域做一個review，也有可能作為我對這個領域最後的一些貢獻（並不是我快掛了。。不過確實有打算跳槽），草稿就在這個專欄裡面寫了。

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一、迴音壁模式微腔（WGM cavity）

想像我們有一個圓形的介質，介質的折射率 $n>1$ 。那麼可以想像，如果幾何光學意義上的光以某一入射角從內射向介質的邊緣，就會在分界面上發生反射和透射。這意味著，我們可以找到某種特定的入射角 $theta_c=sin^{-1}frac{1}{n}$ ，從而大於這個入射角的話，光就會全反射。比如說我們以 $theta_0>theta_c$ 入射。由於圓形介質的對稱性，我們知道這個反射的光再次集中邊界的時候的入射角是不變的。因此，這類模式就分成了兩類：一種不形成周期的，和一種形成周期的。可以想像，不形成周期的軌跡經過足夠長的時間會經歷所有的邊界上的點（稍微嚴格一點，至少可以離的足夠近）。而形成周期的軌道則不是。

考慮光的波動效應，我們可以想像，某些頻率的光是會在周期軌道上形成干涉增強的，舉個例子（當然，這個有諸多誤差，後面會解釋），一個軌道最終為正 $m$ 邊形的幾何光學模式，其周長為 $s=2mcdot rcdotsinfrac{2pi}{2cdot m}$ ，而其相位積累為 $Deltatheta = nks=2nkmcdot rcdotsinfrac{pi}{m}$ ，干涉加強的條件為 $Deltatheta=2pi p$ ，這樣貌似我們就得到了一個存在模式的條件： $kr=pi pfrac{1}{nmcdotsinfrac{pi}{m}}$ 。當然，這個條件太粗糙了，但是在某種程度上這個也能給出一些定量的計算。

這個條件為什麼粗糙呢？因為在波動光學範疇，有一個重要的非幾何光學修正項，分為Goos-H?nchen Shift和Fresnel Filtering，如下圖。

Goos-H?nchen Shift說的是，出射光的位置並不完全是你入射的點，而是移動了一個 $Delta s$ ，而Fresnel Filtering則是說你的反射角也發生了變化， $chineqchi$ 。

補充了這兩點修正，我們還是大概的可以用幾何光學來分析波動的事情。這是有關於迴音壁微腔的一些本徵模式的理論上的簡單的分析。然而，為了激發這樣一種本徵模式，我們往往需要通過一個光纖將光耦合進入這個微盤。為什麼不直接通過激光器把光打入腔是因為光路可逆，我們不能夠高效率的將光打入微腔的WGM模式（即光能量進入微腔且幾何上在腔內全反射）。不過，儘管如此，還是有一些理論上的計算可以把某些光束自由的激發到微腔內，比如利用高斯光束[1]，但是還是缺少實驗上直接觀察。

此外，圓盤是一個軸對稱的體系，其高對稱性也使得很多動力學現象被對稱性保護了起來，從而不展現出來：入射角、反射角在圓腔內是保持恆定的。如果按照經典動力學系統的角度來理解，我們把幾何光線在圓盤內的傳播中，在界面分界的反射位置的入射角 $sinchi$ 和其對應的共軛坐標 $theta$ 作為參數的話，可以把整個系統處理為Hamiltonian系統，得到其2-D相空間。當然，對於圓盤來說，這個相空間的相軌十分簡單，就是保持 $sinchi$ 恆定的離散的點或幾乎連成線。

二、非對稱微腔（Asymmetrical Microcavity）

為了改變入射角、反射角，我們可以設計微腔的形狀，使得它不再具有高對稱性。最常見的辦法是改變邊界形狀，但是，值得注意的是，這裡面還是存在兩類。

(1) 保持鏡面對稱的非對稱微腔。這句話有點繞口，大概意思就是說，雖然沒有旋轉對稱性了（非對稱微腔），但是仍保有（至少一個）鏡面反射對稱軸。這種反射軸的存在使得體系有很多的性質被保留住了，比如順時針-逆時針旋轉的對稱性。一種行波模式，其順時針（CW）旋轉和逆時針（CCW）旋轉是截然不同的。然而，如果我們對這種行波模式做鏡面反演操作，其就會改變其旋轉方向；而體系在這種操作下不變，說明這兩種模式是簡併的。在經典意義上，可以說，繪製出經典幾何光學中光與邊界相交的 $sinchitext{ v.s. }theta$ 的相圖，其相軌跡關於 $sinchi=0$ 對稱（即CW-CCW對稱）。

一個最簡單的例子就是邊界為 $rho(theta)=R_0(1+ecostheta)$ Lima?on型。其中， $e$ 是變形度，下圖為變形度 $e=0.1$ 的某一個模式的相空間所處位置和實空間分布。

而這個腔的相圖如下所示。

(2) 破壞鏡面對稱的非對稱微腔。與上面相反，這種破壞鏡面對稱的非對稱微腔存在一個手性破卻的問題：比如一個穩定模式的相軌跡，其一個周期內有少量的點位於臨界角度以下。這樣，CW與CCW經歷這個臨界角度以下的位置的先後是不對稱的。這就會導致最終的模式存在手性[2,3]。可以模擬出來某一本徵模式按照Bessel函數展開，對應的是CW和CCW成分如下圖所示。可以觀察到有一對不正交的准簡併模式，如下所示。

三、Maxwell方程組與Schr?dinger方程

描述光場的方程實際上就是Maxwell方程組，即

$left(nabla^2+n^2({vec{bf r}})frac{omega^2}{c^2}right)left(begin{matrix}vec{bf E}(vec{bf r})vec{bf H}(vec{bf r})end{matrix}right)=0$

考慮到我們這是一個二維的體系，其 $z$ 軸可以近似處理為 $vec{bf E}({bf r})=vec{bf E}(x,y)e^{ik_zz}$ 。這就說明方程可以化為Helmholtz型：

$left(nabla_{x,y}^2+n^2({vec{bf r}})frac{omega^2}{c^2}-k_z^2right)left(begin{matrix}vec{bf E}(vec{bf r})vec{bf H}(vec{bf r})end{matrix}right)=0$

而用有效折射率 $n_{text{eff}}=nsqrt{1-(k_z/k)^2}$ 的話，就可以寫成

$left(nabla_{x,y}^2+n_{text{eff}}^2({vec{bf r}})frac{omega^2}{c^2}right)left(begin{matrix}vec{bf E}(vec{bf r})vec{bf H}(vec{bf r})end{matrix}right)=0$

其形式與Schr?dinger完全一樣，換句話說，其可以給我們帶來一些對量子力學體系的認識，即使其本身仍然是一個經典的問題。

這樣做的一個好處是，聯繫到腔本身對應經典動力學系統的混沌性，我們可以回答一個重要的問題：量子混沌究竟是量子效應導致的，還是披著經典混沌的外皮的現象。

四、變形腔的本徵共振行為

每個腔都有其自己的特點。比如說， $rho=(1+0.0025cos4theta)R$ 這種，就會有一個周期為四次碰撞的不穩定軌道，相圖表現為一個島鏈結構，見後。Poincare-Birkhoff定理表明，這種本徵的周期軌道附近會產生兩個模式的共振（能量接近）行為[4,5]。

我們知道，當兩個態共振的時候，任何微擾都會對兩個態產生非常強烈的影響使得兩個態彼此耦合。這種現象會對譜學（比如傳輸譜，透射譜，拉曼光譜，etc）有十分重要的影響。這種研究共振的方式被認為是對頻率，乃至整個物理學界，最精確的測量之一[6]。

為了方便計算並從物理上理解，我們用一個製造的勢能來代替相空間的行為，其方法就是構造一個新的有關 $p,q$ 的Hamiltonian，從而近似的描述在周期結構附近的行為。這個Hamiltonian我們選取為 $H(p,q)=H_0(p)+2mathcal{V}_{r:s}cosleft(2pi rfrac{q}{q_{text{max}}}+phi_0right)$ ，在這裡， $(r,s)=(4,1)$ ，表徵共振位置； $H_0(p)$ 表示不考慮相互作用的能量，可以通過積分得到：

$H_0(p)=int_{p_{r:s}}^p[omega(p)-omega(r:s)]dp$ ，而其中 $omega(p)=2arccos(p)$ ，為對這個模式構造出來的角頻率。 $mathcal{V}_{r:s}$ 這一項表示的是相互作用，核心就是用一組等效的餘弦曲線來包裹相空間行為。其等效的相空間和原相空間如下圖所示，黑色為圓相空間，橙色為生成相空間；(a)表示用二次函數來描繪 $H_0(p)$ ，其在偏離共振位置附近的時候效果比較好。可以看到，對於小變形度的系統A來說效果比較理想，而對於大變形度B，或者多鏈C，由於相空間結構複雜，單一一個相互作用勢已經不足以描述；然而索性一般對一個系統來說，主要的相互作用只有一個，只要把這個描述清楚，自然就可以解決大部分問題。

可以看到，按照這種計算，共振條件附近的模式有著和預期一樣的行為，如下圖。

五、品質因子與計算

我們往往只考察微腔光學模式在腔內的效應，於是把光學模式向外輻射的成分處理為本徵能量的一個負虛部。物理上講，這相當於把系統改為腔內子系統，而把剩下的環境trace掉。這時候，品質因子嚴格定義為： $Q=-frac{text{Re}(omega)}{2text{Im}(omega)}$ 。

由於非變形腔是一個可積系統，其可以嚴格求解[7]，包括其品質因子等是任意精度嚴格可算的。然而，對於變形腔，這種性質就沒有了。數值上，邊界元法[8]和有限元法[9]都可以進行一定精度下的求解，但是往往對於 $Q>10^7$ 的模式就需要非常龐大的運算資源了，現實上來說這並不可行。利用一些辦法把模式展開從而求解的辦法也是有一些嘗試的，取得了一定成就，但是並沒有完全解釋行為[10]。目前實驗上經常能夠做到 $Qsim10^8$ 甚至更高的模式，為此，得到一定程度的解析理論會對我們實驗上的理解提供幫助。上面的共振行為對我們理解整個問題提供了一些幫助。

通過建立的勢能，我們可以建立一套二階微擾理論，即最終的本徵模式可以展開為有可能共振的項 $|Psirangle=sum_{jge0}a_j|m-jr,l+jsrangle$ ，其中，展開係數 $a_j=prod_{ule j}frac{mathcal{V}_{r:s}e^{iphi_0}}{H_0(p_{m,l})-H(p_{m-ur,l+us})}$ ，從而對能量也有修正。最終可以看到得到的結果如下圖，藍色為解析理論，黃色為數值結果（準確），黑色為非變形腔結果。

六、總結

光學微腔雖然不是一個新的領域了，但是其仍然有很多微妙的特性，以及尚待開發的地方。從基礎的角度上說，它增強了光與物質的相互作用，目前看來主要是電場的效應，然而，磁場分量也是一個很重要的電磁學研究對象，光學微腔對其的增強的效應目前還沒有直接體會；此外，光學微腔的諸多應用，比如對分子吸附的檢測，多個光學微腔耦合實現量子調控等等，都是一個值得研究的方面。

[1] Zou C L, Shu F J, Sun F W, et al. Theory of free space coupling to high-Q whispering gallery modes[J]. Optics express, 2013, 21(8): 9982-9995.

[2] Wiersig J, Ebersp?cher A, Shim J B, et al. Nonorthogonal pairs of copropagating optical modes in deformed microdisk cavities[J]. Physical Review A, 2011, 84(2): 023845.

[3] Wiersig J, Kim S W, Hentschel M. Asymmetric scattering and nonorthogonal mode patterns in optical microspirals[J]. Physical Review A, 2008, 78(5): 053809.

[4] Poincaré H. Sur un théoreme de géométrie[J]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940), 1912, 33(1): 375-407.

[5] Davis M J, Heller E J. Quantum dynamical tunneling in bound states[J]. The Journal of Chemical Physics, 1981, 75(1): 246-254.

[6] Wolfgang Ketterle, Lectures on Atomic Physics, MIT OpenCourseWare 8.421.

[7] Cao, Hui, and Jan Wiersig. "Dielectric microcavities: Model systems for wave chaos and non-Hermitian physics." Reviews of Modern Physics 87.1 (2015): 61.

[8] Wiersig, Jan. "Boundary element method for resonances in dielectric microcavities." Journal of Optics A: Pure and Applied Optics 5.1 (2002): 53.

[9] Ge, Li, Raktim Sarma, and Hui Cao. "Rotation-induced asymmetry of far-field emission from optical microcavities." Frontiers in Optics. Optical Society of America, 2014.

[10] B?cker, Arnd, et al. "Quality factors and dynamical tunneling in annular microcavities." Physical Review A 79.6 (2009): 063804.