關於偏好連續性定義的一個問題

01-31

我去年做高級微觀經濟學I的助教，9月27日一個學生給我發郵件問了個問題，如下。

偏好連續的兩個定義：

Definition: Consider $Xsubset R^{n}$ . A preference $succeq$ on $X$ is continuous if either

(i) for any pair $x,yin X$ with $xsucc y$ , we can find $varepsilon >0$ such that $x^{} in N_{varepsilon} left( x right)$ and $y^{} in N_{varepsilon} left( x right)$ , we have $x^{} succ y^{}$ ;

(ii) for any sequence of pairs $left{ x_{n},y_{n}right} _{n=1}^{infty}$ in $X$ where $x_{n}succeq y_{n}$ for all $n$ , $lim_{nrightarrow infty } x_{n} =x$ and $lim_{nrightarrow infty } y_{n} =y$ , we have $xsucceq y$ .

總結：連續偏好的特徵為擾動後偏好關係仍然成立。

劉學長，為什麼定義1是嚴格偏好關係而定義2是弱偏好關係？能把定義1中的嚴格偏好換為弱偏好關係而定義2換成嚴格偏好嗎？這樣的改動下定義1與定義2仍然是等價的。

我思考了一會給她回復如下。

這樣定義的並不是連續偏好，而是一種很奇怪的偏好。你的定義說由 $xsucceq y$ 推出存在一個 $x$ 的鄰域 $B_{x}$ 和一個 $y$ 的鄰域 $B_{y}$ ，使得 $B_{x}$ 中所有點都弱偏好於 $B_{y}$ 中所有點。你想一下， $x=y$ 時是什麼情況？可以推出 $B_{x}$ 中所有點都和 $x$ 無差異。可以證明，和某點 $x$ 無差異的點的集合是開集。這隻有兩種可能：一，消費集 $X$ 不連通；二， $X$ 中所有點都是無差異的。下面證明不存在其他情況。

假設 $X$ 是連通的且存在嚴格偏好，那麼考慮和某點 $X$ 無差異的集合 $C_{x}$ ，由於存在嚴格偏好所以 $C_{x}$ 不等於 $X$ 。前面說了， $C_{x}$ 是開集，連通空間中除了空集和全集之外開集不可能也是閉集，所以 $C_{x}$ 不是閉集，所以存在 $C_{x}$ 的邊界點 $y$ 不屬於 $C_{x}$ 。由於 $y$ 不屬於 $C_{x}$ ，所以 $y$ 不和 $x$ 無差異。前面說了，存在一個 $y$ 的鄰域 $B_{y}$ ，其中每個點都和 $y$ 無差異。由於 $y$ 是 $C_{x}$ 的邊界點，所以 $B_{y}$ 必然和 $C_{x}$ 相n交，那麼交集中的點既和 $x$ 無差異又和 $y$ 無差異，這就與前述的 $y$ 不和 $x$ 無差異矛盾了。