好書一起讀(55)：博弈論
一、學習態度
博弈論對我們普通書友，而不是專業的研究人員來說：
1)想學深入非常困難。
2)即使學深入了，對大部分工作、生活問題也沒有幫助。
所以，了解一些博弈論的思路和工具，在享受邏輯的美感的同時，讓自己的思路更開闊，是我個人推薦的學習態度。本篇參考書籍：《策略思維》《博弈論的詭計》。
二、基本工具
博弈論的基本工具有兩種，一是決策樹，二是收益表。
1)決策樹適用於依次行動的博弈，基本方法是向前展望、向後推理。
2)收益表適用於同時行動的博弈，基本方法是尋找優勢策略和均衡。
三、決策樹
立足當下，提出全部「我目前可選擇的辦法」，並基於每種我可選擇的辦法，提出全部「對方可能的應對」，再基於每種對方可能的應對，提出全部「我可能的應對」……以此類推到最後，為每個最終結果賦予收益值，根據這個收益值，向前反推「在最後一步時，我/對方一定會採取的方案」，因為「一定會採取」，則在最後一步進行前，收益值實際已經被確定，根據這可以反推「在倒數第二步時，對/我方一定會採取的方案」……以此類推到第一步，得到「我目前可選擇的辦法」中收益最大的，即應該採取的決策。
這就是向前展望，向後推理。
舉例：假設如圖局面，紅先
第一步，紅方有進將、平將、進兵、向右平兵走法（為簡單，不考慮向左平兵）。
如果紅方進將，黑方只有平將一種走法，然後紅方可以平兵或進兵，如果平兵，黑棋被將殺，記為紅方收益為1，如果進兵，將導致和棋，記為紅方收益為0。
如果紅方平將，黑方直接被將殺，記為紅方收益為1。
如果紅方進兵將軍，黑方有進將或平將兩種走法，這兩種走法都將和棋，記為紅方收益為0。
如果紅方平兵將軍，黑方有吃兵或平將兩種走法，前者將導致和棋，後者將導致紅勝（紅方進將即將殺，不再展開），記為紅方收益為0或1。
根據以上分析畫決策樹如上圖，因為在第一種走法的最後一步，紅方一定選擇平兵將殺（因為1大於0），因此第一種走法的收益為1。第三種走法黑方無論怎麼選擇，都將是和棋，因此第三種走法的收益為0。第四種走法黑方一定選擇吃兵（因為紅方的0就是黑方的0，紅方的1就是黑方的-1，0大於-1），因此第四種走法的收益為0。
化簡決策樹如下：
以上說明了決策樹的典型應用：將整棵樹完全展開到最後，推斷每個分支最後一步行動者的必然選擇，由此將整棵樹化簡一層，這樣一直化簡下去，直到得出第一步的最佳選擇。在理論上，任何棋類都可以用這種方法算出必勝策略（假如有），只是目前及在可以預見的將來的電腦計算能力無法實現。但「井字棋」這種簡單棋類，用決策樹可以簡單地分析出從第一步到最後一步每步的最佳策略，該棋規則極為簡單：在3*3的棋盤上，雙方交替落子，先在直線/斜線上連成三子的一方獲勝。感興趣的書友可以嘗試用決策樹推斷先行一方是否有必勝策略。
另外，決策樹除了在雙方交替進行的博弈中適用外，在不存在「對方」的個體決策中也可以使用，例如本文開頭的關於對「博弈論」的學習態度的分析：
如上，書友可以有「深入學習博弈論」「了解博弈論」「根本不學」三種可選分支，如果嘗試深度學習，有10%概率學懂，學懂之後，有10%概率對現實生活有指導意義，如果選擇僅僅了解，有90%概率了解成功，有10%概率了解失敗。
向前展望：學懂博弈論並成功用之指導生活無疑最好，收益100，了解點兒博弈論並開闊了思路的收益只有5，但如果深入學習之後沒有用處，白費時間，收益-10，如果粗淺了解失敗，花了點兒時間，收益-1，根本不學沒有收穫也沒有損失，收益0。
向後推理：深入學習並學懂後，10%可能收益100，90%可能收益-10，因此深入學習並學懂的數學期望為1，以此類推，計算出第一步的三個選擇中，深入學習的期望收益為-8.9，了解的期望收益為4.4，不學的期望收益為0，比較而言，最佳選擇應該是了解。這也正是本文的態度。
在現實中感到迷茫的時候，不妨給自己畫畫這樣的決策樹，列出所有可能的選擇，及其可能的結果的概率和收益值，計算出每種選擇的期望收益之後進行比較，從中選擇最佳解。
四、收益表
決策樹適用於依次行動的博弈，而收益表適用於同時行動的博弈。
為什麼決策樹不適用於同時行動的博弈？例如諸葛亮和曹操關於赤壁戰後曹操逃跑路線選擇的分析，因為兩人都非常聰明，則兩人會這樣分析：
曹操知道常識，烽煙起處，必有軍馬，因此選擇沒有烽煙的路。
諸葛亮知道曹操知道常識，因此反而在沒有烽煙的路上設伏。
而曹操知道「諸葛亮知道曹操知道常識在沒有烽煙路上設伏」，因此反而選擇有烽煙的路。
而諸葛亮知道「曹操知道諸葛亮知道……」，因此反而在有烽煙的路上設伏。（題外話：這是實際情況，關羽在華容道等到了曹操）
而曹操知道「諸葛亮知道曹操知道……」，因此反而走沒有烽煙的路。
而諸葛亮知道「曹操知道諸葛亮知道……」，因此反而在沒有烽煙的路上設伏。
……以此無限推理下去，雙方永遠無法得出決策，所以說「依次行動」的推理方式在這裡是行不通的，同時行動的最佳策略選擇，應該藉助於收益表。
說到同時行動的收益表，最先舉的例子永遠只有一個，那就是囚徒困境。
警察抓到了兩個嫌疑犯，對他們分別說：你可以選擇招供，也可以選擇否認。如果你和你的同夥都招供了，你倆將每人獲刑五年；如果你倆都否認，你倆將每人獲刑一年；如果一人招供一人否認，則招供者立刻釋放，而否認者獲刑十年。
根據警察指定的規則，可以畫收益表如下：
這個收益表的用法：每個含有數字的格子代表一種雙方決策組合的結果，左邊的數字代表左邊的決策者的收益，右邊的數字代表上邊的決策者的收益，例如「0，-10」這個格子，代表當嫌疑犯甲否認，而嫌疑犯乙招供時，嫌疑犯甲的收益為-10（獲刑十年），而嫌疑犯乙的收益為0（立即釋放）。
考慮嫌疑犯甲的決策時，應該只關注每個數字格子中右邊的數字（-5，-10，0，-1），並將同一橫排的-5與-10比較，這表示「當對方選擇招供時，我怎麼做更有利」，因為-5大於-10，所以當嫌疑犯乙招供時，嫌疑犯甲應該招供，接下來，將同一橫排的0與-1比較，這表示「當對方選擇否認時，我怎麼做更有利」，因為0大於-1，所以當嫌疑犯乙否認時，嫌疑犯甲應該招供。
因為無論嫌疑犯乙招供還是否認，嫌疑犯甲都應該選擇招供，所以說嫌疑犯甲有一個優勢策略，即招供。因為嫌疑犯乙與嫌疑犯甲面對的情況是完全一樣的，顯然嫌疑犯乙的優勢策略也是招供（如果不信，可以考察每個數字格子左邊的數字，並將同一豎排的數字們做比較，顯然-5大於-10，0大於-1）。所謂優勢策略，就是無論對方怎樣行動，我採用這種策略都比採用其他策略結果更好。因此，甲一定會招供，而乙也一定會招供。
這時就形成了均衡，所謂均衡是指在一種選擇組合下，雙方都沒有動力改變選擇。考察一個組合是不是均衡，應該考察雙方如果改變了選擇，結果會如何，對甲來說，將-5，-5格子右邊的數字-5，與同一橫行其他格子右邊的數字-10（這代表甲如果改變選擇他會怎樣）比較，因為-5大於-10，所以甲不應改變選擇，同樣，考察乙，將-5，-5格子左邊的數字-5，與同一豎列其他格子左邊的數字-10比較之後，也會得出不應改變選擇的結論。雙方都認為自己不該改變選擇，這就是均衡。
兩個嫌疑犯的選擇至此理清了，他倆都將招供，並都獲刑五年，但我們將視線移向右下角的格子，會發現他倆本來可以有更好的結果——兩人都否認，並各獲刑一年。一年比五年要短，為什麼不這樣做呢？假設兩人事先串通好了都否認，在面對警察時，嫌疑犯甲會想：既然對方會否認，那麼我如果招供，可以立刻釋放，如果否認，則要坐牢一年，我還是招供比較好。而嫌疑犯乙也會這樣想。所以最終兩人還是雙雙招供。所謂困境就是：「明知合作更有利，但還是有足夠的動力背叛，並一起走向更糟的結局」。
這種困境在現實中也常見，即如果人人都講規則（這規則可能是法律，或道德，或某種領域、項目中的規則），世界將非常美好，但如果人人都講規則，只有一個人作弊，這個人將收穫很大利益，而其他人受損失，如果人人都作弊，世界將混亂無序。
但世界終究沒有黑暗到沒一絲光明，這是因為人們在囚徒困境中痛苦地思考得出了解決方案：單次囚徒困境的困局確實無法破解，但多次博弈中，可以引入「道德」「誠信」的衡量，對上一次博弈中作弊了的人，下一次根本不給他參與博弈的機會。引入了「懲罰機制」之後，博弈者有了「作弊是殺雞取卵」的認識，知道長期來看遵守規則才是最佳選擇，這才讓世界依然保持著秩序。
這其實是通過「懲罰機制」，改變了博弈的收益，假如「再也不帶你玩」對你的損失是-1000，則上一個表格中的數值變化為：
五、典型的同時行動博弈
同時行動的博弈，除了囚徒困境外，還有一些典型的博弈類型。
獵鹿博弈：假如有兩個獵人甲和乙，有兩種獵物鹿和兔子，鹿需要兩人合作抓，一隻鹿能供兩人吃10天，如果兩人分頭抓兔子，抓到兔子可以自己吃3天。
但同樣是均衡，顯然都獵鹿比都獵兔對兩人都更好，這叫做帕累托優勢。雙方的合作將使每個人都獲益，這叫做帕累托改善。這個模型說明了合作比不合作更有優勢。
智豬博弈：豬圈裡有一大一小兩頭豬，豬圈一頭有食槽，另一頭有按鈕，按一下就有10個單位豬食進槽，但按按鈕者會付出2個單位的辛苦，若大豬先到槽邊，大小豬各吃到9份與1份食物，同時到槽邊，大小豬各吃到7份與3份食物，小豬先到槽邊，大小豬吃到6份與4份食物。
如上，大豬沒有優勢策略，但小豬有一個優勢策略即等待。在小豬一定會等待的情況下，大豬按鈕的收穫比等待更大，因此結果將是大豬按鈕，小豬等待，達到均衡。
這個模型說明了團隊里「搭順風車者」的理論依據：原地休息，收益最大，何樂不為？
警察小偷博弈：有兩條街：東街和西街，警察能選擇巡邏其中一條，小偷能選擇偷竊其中一條，如果二人在同一條街，則小偷被捕，如果二人在不同街，則小偷成功偷盜。
如上，雙方都沒有優勢策略，且策略組合中沒有均衡，雙方都應該採取混合策略，即按1:1的比率隨機採用兩種方案中的一個（隨機的意義在於讓對方無法預測，否則如果被對方預測了，對方將針對採取行動，你註定得0，對方註定得1）。警察隨機巡邏東街或西街，小偷隨機偷東街或西街，這是雙方的最優解，這稱為混合策略均衡。經計算，雙方收益的期望值各為0.5。
混合策略均衡時策略的使用比率不一定都是1:1，例如如果東街住戶變得有錢：
混合比率的計算方法是：策略的採用比率，與該策略的收益波動幅度成反比。因為小偷偷東街的收益波動幅度為2，而偷西街的收益波動幅度為1，則小偷偷東街與偷西街的比率應該為0.5:1，即用三分之一的概率偷東街，三分之二的概率偷西街（如果你奇怪為什麼東街變富裕了，偷東街反而變少了，答案是如果小偷以超過三分之一的概率偷東街，警察將以超過二分之一的概率巡邏東街，小偷得不償失）。而警察的收益波動幅度都是1，因此仍然用二分之一的概率巡邏東街，二分之一的概率巡邏西街。經計算，警察收益的期望值仍為0.5，而小偷收益的期望值提高到0.66，這是東街居民變富裕給小偷帶來的福利。
這個例子也適用於前面說的華容道的例子，在「你知道我知道你知道……」無窮無盡的情況下，正確的破解方法是雙方各隨機選擇一條道路，是好是歹各安天命（題外話：反正派去的是關羽，曹操倒是無論怎麼選擇都能平安過關）。
再一個例子，例如劇院失火，有一大一小兩個安全出口，大的是小的寬度的二倍，怎樣選擇？正確思路是以2:1的概率隨機選擇一扇門（怎樣隨機？看一眼手錶秒針，指向0-19秒則走小門，20-59秒則走大門），人人都這樣想，最終將有三分之二人走大門，三分之一人走小門，逃生效率最高。
鬥雞博弈：兩隻鬥雞在小巷相遇，無法同時通過，誰後退誰丟臉，另一方光榮，但如果都不後退，將兩敗俱傷：
雙方都沒有優勢策略，但有兩個均衡：即一方前進，而另一方後退。這時，前進一方沒有理由改變行動（1 > -1），後退一方同樣沒有理由改變行動（-1 > -2）。
在現實中，這種現象變得有趣，大多數人出於氣憤，不肯接受「對方前進，自己後退」的均衡，寧願自己受損失（從-1變成-2），也要讓對方受到更大的損失（從1變成-2），這看似並不理智，但自有其道理（見下文）。
六、其他典型博弈
槍手博弈：三個互相痛恨的槍手甲乙丙決鬥，三人同時開槍，每輪每人只能開一槍，甲命中率八成，乙六成，丙四成。
甲會射擊乙，因為如果乙活著，比丙活著對他威脅更大，同理乙會射擊甲，丙也會射擊甲，這樣甲生存概率為24%（乙失手率乘以丙失手率），乙生存概率為20%（甲失手率），丙（最弱的人）生存概率為100%（沒人打他）。
這就是古老的「出頭的椽子先爛」「高築牆廣積糧緩稱王」的道理，想活下去，就不要讓人知道你的實力有多強大，除非你的實力強大到他們知道也無妨。
分蛋糕博弈：有一塊冰激凌蛋糕甲乙兩人分，甲提出方案，乙可以同意或拒絕，如果乙拒絕，改為由乙分甲無條件同意，但由乙分的時候，蛋糕將融化為原來的4成。
採用「向前展望向後推理」，如果到乙分的時候，乙一定把蛋糕全給自己，這樣乙得四成，甲得零。甲想讓乙在甲提方案的時候就同意，甲應該給乙分四成，自己得六成。這樣乙沒有動力反對（理性人：只有慾望利己，沒有慾望損人）。
路徑依賴：將5隻猴子ABCDE放入籠子並放一隻香蕉，猴子碰到香蕉就會引發熱水傾瀉，所有猴子被燙，它們得了教訓之後，從籠子中取走一隻猴子，放入一隻新猴子F，新猴子想碰香蕉，受到老猴子們的毆打，也得知了「香蕉不能碰」，之後再拿走一隻元老猴子（保留F），放入一隻新猴子G，使G也習得規矩，直到元老猴子ABCDE全被移除，五隻從沒被熱水燙過的新猴子FGHIJ依然沒有一隻敢於碰香蕉，哪怕觸發熱水的機制已經被移除，再更換猴子，規矩將被繼續保留。
這就是「傳統」的慣性，例如我們現在的鍵盤布局，明明並無效率，但將永遠流傳。
人質困境：長板坡上張翼德據水斷橋，如果百萬曹軍一擁而上，三將軍齏粉矣，為什麼張飛能夠倖免？因為曹軍知道誰先上誰死。
現實中，一車人面對歹徒，無人敢於出頭，與此道理相同。
臟臉博弈：三個小孩子一個老師，老師說：你們三人中有人臉上有泥巴，三個小孩子互相看了一眼，沒反應，又互相看了一眼，還是沒反應，又互相看了一眼，三個人都做出了擦臉的動作。為什麼？
假如三個小孩子中只有一人臉上有泥巴，老師說話之後，他看到另外兩人臉是乾淨的，將意識到臉上有泥巴的是自己，會用手擦臉。但老師說話之後三人都沒反應，說明三人中至少有兩人臉上有泥巴，在互相看了一眼之後，三個人都知道了這一事實，而且也都知道另外兩人也知道這一事實。在他們互相看第二眼的時候，如果有人看到「一張凈臉一張臟臉」，他會意識到自己是臟臉（因為至少兩人臟），而去擦臉，但看了第二眼後還是沒人擦臉，說明每個人都看到了兩張臟臉。至此，三個人都意識到了自己是臟臉，用手擦臉。
但回過頭看，每個人早就看過別人臉上有泥巴，老師說的「你們三人中有人臉上有泥巴」引入了什麼新信息呢？它引入的信息是：「每個人都知道我們三人中有人臉上有泥巴」。這叫做「公共知識」，即「你知道，我也知道，而且你知道我知道，我也知道你知道」的知識。
有了「公共知識」的概念，把上面的邏輯理一下：
老師說話之後，每個小孩子都知道了「至少一人臟」，這對他們來說是廢話，但他們另外知道一件事，即「他倆也知道『至少一人臟』」。
沒人有所反應，這時每個小孩子都知道了「不止一張臟臉」，這事實上也是廢話（因為他們每人都看到了兩張臟臉），但他們得到了新信息「他倆也知道『不止一張臟臉』」。
還是沒人反應，這時每個小孩子都知道了「沒人看見一凈一臟」（因為如果有人這樣看見，他又知道不止一張臟臉，就會意識到自己臉臟而擦臉），既然「每人都看見兩張臟臉」，就推斷出「我是臟臉」，於是伸手擦臉。
這就是「公共知識」的力量，它不僅讓你知道某事，並且讓你知道：這事已盡人皆知。這樣，你能從別人的行為，推斷出更多信息。
七、打破僵局的方法
上面的同時行動的策略選擇，一個基礎是對對方的價值觀和行為的推測：「如果我這樣做，對他來說A策略比B策略優，他會選擇A」。如果任由對方這樣推算下去，結果對你不利，你可以試圖改變對方對你的預測，來改變對方的行為。
這包括無條件行動、威脅、許諾。
無條件行動——「無論如何，我都會這麼做。」
威脅——「如果你這樣做，我會那樣做，使你收益減少。」
許諾——「如果你這樣做，我會那樣做，使你收益增加。」
最重要的是，你表明自己的態度之後，要有辦法讓對手相信你的發言，而不是讓他認為你在欺騙他。
例如，在囚徒困境中，你信誓旦旦地說，我一定會否認，請你也否認。但對方思考之後，認為他如果信了你，否認了犯罪，結果你坦白了，他就特別吃虧（入獄十年）。這樣他不會信任你。你的態度就白白表達了。
怎樣讓自己可信？《策略思維》給出了八種方法：建立和利用一種信譽，寫下合同，切斷溝通，破釜沉舟，讓後果超出你的控制，小步前進，通過團隊合作建立可信度，僱用談判代理人。這八種方法分為三類思路是：
1)提高自己背叛承諾的成本
2)剝奪自己背叛承諾的能力
3)利用別人幫自己遵守承諾
在進行了有可信度的無條件行動、威脅、許諾的聲明後，你將可以改變對手用來進行決策的判斷依據。例如，當獵鹿博弈穩定在雙方都獵兔的均衡時，獵人甲許諾：
只要你願意轉而獵鹿，我一定也轉而獵鹿。
例如，在鬥雞博弈中，在均衡局面下後退的甲強硬宣布：
無論如何，我都要前進了！
如果你希望對手改變策略，就改變他看到的收益表吧。
八、思考題
1)經典的「強盜分金」問題：有5個強盜搶到了100枚金幣，規定由1號強盜提出分配方案，如果他的方案被全部人中大於百分之五十人同意，則按他的方案分配，否則殺掉他，改為由2號強盜提方案，以此類推。這5個強盜都是極為理性又極為殘忍的人，最終結果會是怎樣的？
2)怎樣使用第七條「打破僵局的方法」破解囚徒困境？
3)這是我在知乎上看到的一個讓我五體投地的國際象棋題目，雖然和這篇關係不大，也藉機分享一下吧，要求：白先兩步殺黑。能做出來嗎？（圖片出處見水印）
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