第三課——令人肝顫的氣體運動

//題圖來自NASA，長證明注意~

當我們拿到了星際速度地圖之後，我們下面的事情就是如何湊足這需要的速度了。

在第一課的時候，我們得到了齊奧爾科夫斯基公式。隨著我們的目的地的確認，就能確認下來了。提高發動機的噴氣速度c，就能大量降低與的比值，從而提高效率。

與的比值一定的情況下，我們自然要想辦法提高噴氣速度了。

根據熱力學第一定律，單位質量氣體吸收的熱量為q，其內能為E，其壓力與容積分別為p與v，那麼有：

其中是焓。這個公式，實在是太重要了。。。

另一方面，由動量定理易知，在單位時間內，壓力的變化將導致動量的變化。顯然，我們就可以利用這個原理，將氣體狀態與噴氣速度聯繫起來。

氣體在這段內的行進中，在外力（壓力）的作用下，其動量將發生變化。

氣體受到的來自左邊的壓力為，來自右邊的壓力為，側面的壓力（將側面微分，計算，並積分的結果）

那麼，合力大小為，那麼令為氣體流量，有：

而由於，所以

由於前面的熱力學第一定律的表示式適用於單位質量，那麼，代入，有：

由於火箭發動機產生的氣體在噴管中運動速度奇快（超音速水準），氣體跟噴管結束時間很短，我們可以認為氣體沒有發生熱交換，那麼顯然，則有：

那麼很顯然的，氣體在進入噴管的時候速度為，出噴管的速度為，進入噴管的焓為，出噴管的焓為，那麼有：

由於進入噴管的速度遠遠小於出噴管的速度，故認為

則

可見，在發動機參數一樣的情況下，最終噴氣速度等於氣體在運動過程中的焓變。

考慮到火箭發動機工作的時候，溫度在2500K~3500K，氣體分子熱運動極其劇烈，因此我們可以認為氣體均勻分布，而且性質與理想氣體相近。

那麼，上式可以進行進一步計算：

在定壓過程（dp=0）中，，表示氣體的定壓比熱容，那麼：

其中，分別表示氣體進入/噴出噴管所具有的溫度。

由於進出的溫度比是實際操作中難以控制，難以進行規範化的地方，而進出壓強比是很好控制與量化的，那麼將溫度轉換為壓強，則是一個出路。

前面的假設也提到了，整個氣體的流動可以看做是絕熱過程，在定容過程（dV=0）中，有：

那麼，

代入理想氣體方程，則

而 同時定義，k就是絕熱指數。

在絕熱過程中，

即：

積分，有：

同時再將理想氣體方程代入。那麼，很容易就能得出：

同時，

所以，公式可以改寫成：

此即為理想狀態下，氣體從噴管噴出來的速度的計算公式。

在真空條件下，，則噴氣速度可以達到。

然而實際上，由於氣體的出口壓強是存在的，那麼提高燃燒室內的壓強，就能儘可能的提升v。

受限於材料、結構等因素，燃燒室壓強最多也就60至70個大氣壓，所以通過的減少，來提升的速度是有限的。

那麼對於前面的部分來說，如果我們提高k與與n，就能提高的值。

我們知道，k值與氣體性質有關，單原子氣體的k值為1.67，雙原子氣體的k值在1.28至1.4浮動，多原子氣體的k值在1.25到1.3之間浮動。由於k值的變化範圍不大，那麼對於的提升而是有限的。主要還是要依賴於燃燒溫度與n。

如果氣體的相對分子量越低，那麼單位質量的氣體所含的分子數越多，n也越大。

因此，選擇高熱值與低分子量的燃料，就是我們的重要考量因素。

傳統的化學推進劑，需要氧化劑與還原劑兩個部分。而目前最符合實際需求的，液氫/液氧混合體系，想提高溫度時，我們需要將配比接近於2：1——水的組分；但同時，由於氧的分子量較大，對n的增加不利。因此這方面的改進也是需要費點功夫的。

「那麼有沒有辦法兼顧呢？」

有，化學火箭其實是利用化學反應同時達到高溫與氣體兩個目的。那麼只要將這兩個因素分開就可以實現兼顧了。

一個可行的方案就是核裂變推進。

這個推進原理是直接利用核裂變產生的熱量對氣體進行加熱，從而讓使用低分子量的一元推進劑的設想成為了可能。既然分子量越低越好，那麼液氫無疑是最好的選擇。

通過增大裂變反應堆的功率，我們可以一直提高氣體的溫度，直到我們觸碰到材料的極限。那麼在這兩個因素的作用下，核裂變推進的系統能將噴氣速度提高到至少常規的兩倍。

然而由於其本身質量很大（需要一個反應堆），因此在載荷不重的情況下可能得不償失。

當然，以上的所有分析都是基於氣體受熱膨脹從而產生反衝作用的原理來進行的。那麼自然，別的推進方式的計算就不適用了。

比如離子推進，通過電場對粒子進行加速，產生的噴氣速度能高達數十千米每秒，這個方面的計算，就需要另起爐灶了。

「既然離子推進能產生這麼高的速度，我們為什麼不用呢？」

原因也很簡單，推力不夠，離子推進器只有區區幾十毫牛頓。

齊奧爾科夫斯基計算公式是針對物體始終狀態的，對於物體到底要花多少時間達到這個狀態，它是不理會的。在載人航天這種時效性要求很高的領域，離子推進可能並不是一個很好的選擇，但是如果是大質量的物體運載的話，極高的噴氣速度能大大提高效率，從而實現更多的載荷的運輸。

現在，我們已經提到了這麼多的發動機，以及還沒有提到的其它類型的發動機，那麼，我們需要建立一個評判體系，來決定他們的優劣。

我們如何來評價呢？這些發動機的合適的位置，又在哪裡呢？

つづく……

推薦閱讀：