[數據分析與可視化 8] 線性代數的價值：高效演算法

「一半以上的科學工程計算問題都可歸結為：大規模線性代數方程組的求解問題。」

——黃廷祝，電子科技大學，網易公開課《線性代數與信息科技》

之前文章中提到：線性代數中將聯立方程組的求解問題抽象地轉換為矩陣計算問題，極大地推進計算效率，那麼，

問題一：這具體是如何實現的呢？

1.克萊默法則

xj=Dj/D，Dj是用常數項b1，b2......bn替換D中第j列所成的行列式，D為係數行列式。

2.高斯消元 - 初等行變換

將增廣矩陣轉換為行簡化階梯矩陣，代入求解。

3.高斯消元 - A=LU分解

元問題：Ax=b，

引入：A=LU的分解，其中L為下三角矩陣，U為上三角矩陣；

等價於：LUx=b，

等價於：Ly=b，Ux=y

4.迭代法

（1）基於分裂的演算法：

• 雅可比Jacobi法：假設x(0)，代入演算法x(1)，再基於上一個計算值，計算x(3)......迭代計算至收斂；
• Gauss-Seidel法：假設x(0)，代入演算法x(1)，再基於之前所有已算得的計算值，計算x(3)......迭代計算至收斂；

（2）Krylov子空間迭代法

CG、GMRES、BiCGStab......

問題二：既然已經有了克萊默法則、高斯消元（A=LU分解）了，為什麼還要研究其他的解法呢？

網易公開課中這張圖片給出了答案：

除了文章開始引用的那句話外，這位老師喜歡重複強調的另一句話是：」有些東西知道和不知道差別很大，是質的差別。「

是的，我終於知道了線性代數/矩陣計算研究的價值。

參考鏈接：電子科技大學公開課：線性代數與信息科技

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