美是真實的火花——埃菲爾鐵塔為什麼是這個形狀的？

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埃菲爾鐵塔是巴黎和法國的象徵，可謂是家喻戶曉。那它為什麼是這個形狀呢？僅僅是因為好看嗎？那為什麼這個形狀就好看呢？

拋開其它因素，僅僅從工程角度出發，為什麼不是這種直筒矩形呢？當初埃菲爾是怎麼考慮的呢？

對於結構工程師們來說，也許一句「這是風荷載的彎矩圖的形狀」就夠了。但這是知乎，我的目的也是科普，所以我不會做這樣的回答。讓我們從小學自然開始吧！

或許是杜撰，或許是確有其事，總之，我們都知道阿基米德老師曾經說過，「給我一個支點，我能撬動地球」。

根據槓桿原理，對於轉軸點力矩平衡，假設地球的重量是50，地球那一端的槓桿長度是1，阿基米德這一端的長度是10，50乘1除10等於5，那麼阿基米德只需要5的力就可以撬動地球。我們把這個力與旋轉軸心之間的垂直距離叫做力臂，也就是在上圖中，地球的力臂是1，阿基米德的力臂是10。阿基米德這邊的力臂越長，所需的力就越少，如果力臂是500，那需要的力變成了50乘1除500等於0.1。

言歸正傳，我們把目光放到建築上，假設我有上圖這麼一個建築，最上面施加一個水平力。我們都有推倒東西的經驗，一個紙箱子，一推就倒。那為什麼塗陰影的整個三層不會繞著右下角傾倒呢？很簡單，因為二層左邊的柱子把它給拉住了。按照我們剛才的繞旋轉中心力矩平衡，外部施加的水平力是1，力臂 L 是10，柱子把陰影部分拉住的力臂 d 是5，那麼柱子的拉力就是1乘10除5等於2。

同樣的道理，三層加二層合起來的陰影部分也有可能被推倒，整個這兩層被一層左邊的柱子給拉住了，這時候柱子拉力的力臂 d 還是5，但是水平力的力臂 L 變成了20，柱子的拉力就變成了 1乘20除5等於4。整個三層樓加起來也有可能被推倒，只不過，基礎的拉力把整個三層樓拉住了，這個時候，外部水平力的力臂 L 變成了30，基礎的拉力相應的變成了6。

同時，我們也注意到，這些陰影部分不光有可能以右下角為轉動軸向上轉動進而傾倒，還有可能以左下角為轉動軸向下轉動。之所以沒有如此，是因為被右邊的柱子給頂住了。這個柱子的力是多少呢？跟剛才一樣，力臂是5，大小是1乘10除5等於2。對於一層、基礎，同樣也是如此，右邊的柱子要頂住自己上面的部分，受力大小跟左邊的拉力一樣，分別是4和6。

也就是說，我們最終得到了這個結果。為了抵抗房頂的這個大小為1的水平力，左邊的柱子要把自己上面的部分「拉住」，右邊的柱子要把自己上面的部分「頂住」，每層柱子受力的大小從上往下承線性遞增，分別是2、4、6。這就意味著，最底下的柱子要比最上面的柱子結實3倍，要麼變粗，要麼用更好的材料，總之，底部柱子需要承擔3倍的頂部柱子的受力。這也意味著，底部柱子的造價差不多是頂層的3倍。

那如果我不想多花這些錢呢？有沒有什麼辦法讓底部柱子受力和頂部柱子差不多呢？

我們再想一下柱子受力的大小是怎麼來的？水平力1乘以水平力的力臂 L 除以柱子的力臂 d，d從上到下都是5，L 從上到下從10增加到30，所以柱子的受力從2增加到6。外部水平力1是肯定不會變的，L 從上到下不管怎麼變都是10增加到30，那如果我變動 d 呢？如果我把最底下的寬度 d 從5增加到15，柱子的受力就變成了1乘30除15等於2。看，不再需要能承受6的柱子了，從上到小都可以用受力能力為2的柱子，只要我們逐層改變 d 的數值。

簡單說，為了抵禦樓頂的這個水平力，對於每個樓層，柱子受力的大小跟樓層的寬度 d 的乘積是一個定值。從上到下，如果 d 不變，那柱子的受力就會逐漸變大，反之，我想要柱子的受力不變，那隻需要逐漸增加寬度 d 的數值。比如對於 L 為20的那一層，左邊是受力4乘以寬度5等於20，右邊是受力2乘以寬度10也等於20；對於最底下，左邊是6乘5等於30，右邊是2乘15也等於30。效果沒變，但是增加了寬度，減小了受力。

看到這裡，諸位看官估計已經明白了埃菲爾鐵塔的原理。那我們就把目光投向埃菲爾鐵塔，假設我有一個跟埃菲爾鐵塔一樣高的立面矩形的塔，這個塔承受的不再是簡單的最頂端為1的水平力，而是一系列風荷載的水平力。我們都知道，越高的地方風越大，我們近似越往上風荷載越大，也就是樓層處的集中力越大。

我們假設風荷載是這樣的，最下面是1，最上面是19，中間逐漸變化，雖然不準確，但是可以這樣大致估算。

用上面我們的方法，最上面那個小方格是這樣的，最上面兩個小方格是這樣的，最上面三個小方格是這樣的，依次類推，直到包括到最底下的那個小方格……

左邊就是每一層的計算結果，再按照我們上面增加 d 從而減小受力的思路，我把最底下的 d 從1增大到7.6，相應的受力從2470變為2470乘1除7.6等於325。同樣的思路，每一層都做同樣的處理，讓每一層的受力都變為325。比如，原先左邊受力1196的那一層，寬度變為3.68，受力變為1196乘1除3.68等於325；原先左邊受力364的那一層，寬度變為1.12，受力變為364乘1除1.12等於325。

最後，我們把我們得到的圖形跟實際的埃菲爾鐵塔對比一下，怎麼樣？基本上就是這個形狀哦。當然，還是有差距的，因為風荷載雖然是主導荷載，但也有其它因素。同時，我們得到的圖形顯得有點矮胖，讓某些構件受力大一些，但是讓整體顯得優雅美麗，這都是可以接受的。

這是當年埃菲爾公司的一張草圖，雖然看上去更加複雜和詳細，但基本思路和我們這個簡化的分析是一樣的。

如果你有興趣自己試一下的話，可以試著偷點懶，畢竟，摁計算器挺累的，還容易摁錯。可以試著用 MathCAD 或者 Excel，方便快捷，工程師居家旅行之必備神器。

比如這就是我的 MathCAD 計算過程。

雖然，現在看起來，這樣的分析稀鬆平常。就像牛頓三定律在我們今天看來就像常識一般，但在它出現的年代，卻是非凡的成就。在埃菲爾鐵塔之前，幾乎所有的結構設計都是憑經驗拍腦袋，埃菲爾鐵塔是人類首批用有根有據、完整翔實的數學分析來完成結構設計的工程項目之一。從這一刻起，結構工程從師傅帶徒弟的手工業邁入了有著堅實數理基礎的工程科學新時代。

各位看官又要問了，既然可以用增加寬度的方法來減小柱子的受力，那為什麼現在的高層建築都是直筒矩形呢？幹嘛不用這種方法呢？因為地價實在是太昂貴了，寧可多花錢，也要多出面積。同樣的地盤，當然是直筒矩形出的面積多。你逐層內收，柱子受力倒是小了，出的面積也小，這不是得不償失嘛。

如果你觀察一下東方明珠、東京塔這樣的電視塔，你會發現，它們依然在用這個策略。即使是高層建築，同樣也有採用這個策略的。Fazlur Khan 的名作漢考克中心就是向上內收，而喬普拉老師的神作《結構動力學》封面上的泛美大廈也是一個例子。

位於舊金山的泛美金字塔，就採用了類似的策略，從上往下寬度逐漸變大。

那有沒有反面例子呢？當然有了。我又要繼續黑建築大師們了。雖然我是柯布老師的腦殘粉，我還收藏著柯布老師全集，但是，作為一個結構工程師，我不得不說，底層架空雞腿柱是個非常糟糕的設計。

在受力最大的底層，不僅沒有加大寬度，反而內收為兩個雞腿柱……這不科學啊！

回到埃菲爾鐵塔這裡，埃菲爾鐵塔是19世紀鐵結構時代的最後一抹餘暉，在它之後，我們邁入了鋼和混凝土的時代。但同時，埃菲爾鐵塔又是一個時代的揭幕人，它開創了精確的的結構分析的新時代，它是結構工程領域不朽的里程碑。

也許在當時，睿智的埃菲爾就已經料到了他的鐵塔會成為工程科學的豐碑。他特意在鐵塔的第一平台上刻上了為工程科學作出卓越貢獻的72位法國科學家、數學家和工程師的名字，這其中包括拉格朗日、拉普拉斯、居維葉、拉瓦錫、安培、納維葉、蓋·呂薩克、柯西、菲涅爾、庫侖、傅科、蒙日、泊松、傅立葉、拉扎爾·卡諾等等。

也許面對埃菲爾鐵塔這樣的美景，腦子裡卻在想它是風荷載彎矩圖的形狀，挺煞風景的。但是，我堅信，美是真實的火花。也許正是因為這些特質，才讓埃菲爾鐵塔如此的優雅而又迷人。