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關於函數的證明？

01-30

設函數f（x）定義在整個實數軸上, 並且對於任意兩個實數x,y,都有f（x+y）=f（x）+f（y）求證存在常數A使得對於所有的有理數都有f（x）=ax

對任意有理數x = n/m，有

f(n) = n f(1) = m f(n/m)

故有

f(n/m) = n/m f(1)

可知常數A = f(1)。。

這個是很經典的柯西函數方程，在有理數域上很容易解，但是超出有理數域就很難了，需要一些額外條件才能推出線性解。。

Cauchys functional equation

$a=fleft( 1 ight)$ ，證明如下：

$fleft( 0 ight)=fleft( 0+0 ight)=fleft( 0 ight)+fleft( 0 ight)=2fleft( 0 ight)$

$∴ fleft( 0 ight)=0$

$forall x in Q, fleft( 0 ight)=fleft( x-x ight)=fleft( x ight)+fleft( -x ight)$

$∴ fleft( -x ight)=-fleft( x ight)$

$forall q in N^{+}, fleft( 1 ight)=fleft( frac{1}{q} ight)+fleft( frac{q-1}{q} ight)=2fleft( frac{1}{q} ight)+fleft( frac{q-2}{q} ight)=...=qfleft( frac{1}{q} ight)$

$∴ fleft( frac{1}{q} ight)=frac{1}{q}fleft( 1 ight)$

$forall x in Q^{+},$ 設 $x=frac{p}{q},$ $p$ 和 $q$ 互質且均大於 $0.$

$fleft( frac{p}{q} ight)=fleft( frac{1}{q} ight)+fleft( frac{p-1}{q} ight)=2fleft( frac{1}{q} ight)+fleft( frac{p-2}{q} ight)=...=pfleft( frac{1}{q} ight)=frac{p}{q}fleft( 1 ight)$

$forall x in Q^{-},$ 設 $x=frac{p}{q},$ $p$ 和 $q$ 互質且 $p<0,q>0.$

$fleft( frac{p}{q} ight)=- fleft( frac{-p}{q} ight), fleft( frac{-p}{q} ight)= -frac{p}{q}fleft( 1 ight)$

$∴ fleft( frac{p}{q} ight)=- fleft( frac{-p}{q} ight)=frac{p}{q}fleft( 1 ight)$

綜上，存在常數 $a=fleft( 1 ight),$ 使得 $forall x in Q,$ 使得 $fleft( x ight)=xfleft( 1 ight),$ 證畢.

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