對於由非規範變換相聯繫著的拉格朗日量，由它們正則量子化得到的結果有相同的物理嗎?

01-30

在諧振子模型中，我們不僅可以將 Lagrangian 寫作 $mathcal{L}=frac{mdot{x}^2}{2}-frac{momega^2x^2}{2}=frac{p^2}{2m}-frac{momega^2x^2}{2}$ ，而且還可以寫作
$mathcal{L}=frac{m^2dot{x}^4}{12}+mdot{x}^2V(x)-V(x)^2, ext{where } V(x)=frac{-k}{2}x=-frac{momega^2x}{2}$ 。那麼由這兩個拉格朗日量正則量子化得到的結果是否在物理上一樣？
更有自由粒子的例子：
$mathcal{L}=frac{1}{dot{x}}\ mathcal{L}=dot{x}lndot{x}$

謝邀。這個問題我看了半天應該是和Yang-Mills規範理論的規範變換（gauge transformation）沒什麼關係。題主無非是想說，同樣能得出諧振子運動方程的兩個函數，為什麼一個可以當作諧振子的Lagrangian而另一個卻不行，以及它們在物理上一不一樣。

有這種困惑其實是由於對物理系統的一般性理解不夠深入導致的。我就以你寫的這兩個諧振子的Lagrangian為例來簡單說一下。首先答案是這兩個Lagrangian並不等價，自然物理上描述的並不是一個東西。我們就先假設第一個Lagrangian描述的是諧振子系統的動力學，然後看看第二個Lagrangian描述的是什麼。諧振子Lagrangian為如下形式：

$L(x,dot{x})=frac{mdot{x}^2}{2}-frac{momega^2x^2}{2}$ ...(1)

於是你寫的第二個Lagrangian可以用如下代換得到：

$dot{x} ightarrow adot{y}^2+by, x ightarrow cy$ ...(2)

這裡要求，

$a=sqrt{frac{m}{6}}, b=-frac{sqrt{3m}}{2} omega^2,c=sqrt{2m}omega$ ...(3)

最後利用（2）（3）兩個式子替換掉（1）式子，用變數 $y$ 重新表述（1）式即可得到你寫的第二個Lagrangian,

$L(y,dot{y})=frac{M^2dot{y}^4}{12}+mdot{y}^2V-V^2, where V=-frac{Momega^2 y}{2}$ ...(4)

因此可以看出，（1）式的Lagrangian的物理自由度是由 $x,dot{x}$ 描述，這是一對互相獨立的變數，但（2）式的變換若想使得（4）式中的 $y,dot{y}$ 仍是獨立變數，那麼 $x,dot{x}$ 就不可能完全獨立，因為（2）的變換總會給出 $x,dot{x}$ 或者 $y,dot{y}$ 之間存在一個約束。換句話說， $x,dot{x}$ 和 $y,dot{y}$ 不可能同時為物理自由度或者說同時是兩組獨立的正則變數。眾所周知，Lagrangian力學原理都是對系統的正則自由度，或者說正則變數做變分可得運動方程，因此若（1）式中的 $x,dot{x}$ 描述的是諧振子的物理自由度，那麼（4）式中 $y,dot{y}$ 描述的就不是諧振子的物理自由度，也就是說（1）和（4）並不等價。

上面說的都是一些數學上的技巧，當然你可以從更加數學化的理論，比如辛幾何利用纖維叢的語言很容易看出來這兩個Lagrangian的正則形式之間並不等價，所以物理上描述的東西不一樣。實際上這種情況在物理學裡並不少見，如果找到一個系統的Lagrangian不唯一且不等價，那麼這只是說明了這個系統真正的物理自由度還不清楚，當然諧振子這麼簡單的系統不會存在這種困惑。其實物理上區分一個系統的物理性質另一個要素是系統的對稱性。比如這裡的（1）和（4）式子，（1）式顯然具有P宇稱但（4）式存在P宇稱破壞，所以對稱性上也能一眼區分出這兩個Lagrangian必然描述里兩個不同的系統。再舉個例子，比如我們熟知的電動力學，其Maxwell Lagrangian為：

$mathcal{L}=mathrm{Tr}{Fwedge ^*F}$ ,如果你在這個Lagrangian里加入一個topological term $mathcal{L_{ heta}}=mathrm{Tr}{Fwedge F}$ ,就會破壞Maxwell系統的C,P對稱性。儘管這個topological term並不改變運動方程，但是它的存在意味著理論上來說，他描述了不同於Maxwell理論的系統。從對稱性上來區分物理系統的例子很多，再比如廣義相對論裡面經常提到的Gibbons-Hawking term也屬於不改變運動方程的項。以及儘管Dirac Lagragian可以得出Klein-Goldon方程，但是描述的卻是旋量場的動力學，這就是因為基本物理自由度於Klein-Goldon方程不一樣導致的，所以Dirac粒子與Klein-Goldon粒子很不一樣。

總之，區分一個物理系統的要素不只是看運動方程，對稱性/守恆律，熱力學等等也是很重要的因素，所以如果對一個系統的Lagrangian只是做一些數學上的變換並不能一定還得到一個能夠真正描述物理系統動力學的Lagrangian。最後說一句，如果做quantization一定是要對系統真正的物理自由度去做才有意義，因為波粒二象性是指真正有物理動力學的正則坐標和正則動量存在不確定性關係，而對非物理的自由度談及波粒二象性是沒意義的。你可以看一些這方面的例子，比如規範場的Faddeev-Popov量子化，如何用Ghost抵消到對非物理自由度的quantization進而保證只有真正的物理自由度存在波粒二象性。還有BRST量子化在場論或者弦理論的應用，用對稱性保證量子化是針對真正物理自由度實施的等等。

由於本回答在編輯的時候，原題目題干有誤，現在重新幫你們理一遍:

對於形如 $L(mathbf{x},dot{mathbf{x}})=frac{mdot{mathbf{x}}^2}{2}-V(mathbf{x})$ 的拉格朗日量，可以構造

$L(mathbf{x},dot{mathbf{x}})=frac{m^2dot{mathbf{x}}^4}{12}-mdot{mathbf{x}}^2V(mathbf{x})+V(mathbf{x})^2 ag{0.1}$

以得到運動方程:

$left(frac{mdot{mathbf{x}}^2}{2}-V ight)left(mddot{mathbf{x}}+frac{partial V}{partial mathbf{x}} ight)=0 ag{0.2}$

從而牛頓第二定律 $mddot{mathbf{x}}=-frac{partial V}{partial mathbf{x}}$ 可以是(0.2)的解。

哈密頓力學下，利用 $Hequiv dot{mathbf{x}}cdotfrac{partial L}{partial dot{mathbf{x}}}-L$ , 求得哈密頓：

$H=frac{m^2dot{mathbf{x}}^4}{4}-mdot{mathbf{x}}^2V(mathbf{x})-V(mathbf{x})^2 ag{0.3}$

其中動量 $mathbf{p}equiv frac{partial L}{partial mathbf{dot{x}}} =mdot{mathbf{x}}left(frac{mmathbf{dot{x}}^2}{3}-2V ight)$ .

現在假設一維簡諧振問題， $V=frac{momega^2 x^2}{2}$ . 那麼(0.2)給出：

$ddot{x}=-omega^2x ,,,,,,,,,,,,or,,,,,,,,,,,, dot{x}^2=omega^2x^2 ag{1.1}$

顯然除了諧振的解 $x=Acos(omega t+varphi)$ , 還有指數型的解 $x=Ae^{pmomega t}$ .

這意味著在複平面 $z=x+iomegadot{x}$ 上，在斜率正負1的直線上，質點會不知所措，從而沒有唯一的運動軌跡。從這一點出發，這個拉氏量已經不是刻畫原始的簡諧振子。

注:

*如果將簡諧勢作替換 $omega^2 o-omega^2$ , 那麼實特解 $Ae^{pmomega t}$ 和復特解 $Ae^{pm iomega t}$ 在替換前後仍然滿足運動方程。

$mathcal{L}=frac{1}{12}m^2dot{x}^4-frac{1}{2}m^2omega^2xdot{x}^2-frac{1}{4}m^2omega^4x^2$

$p=frac{partial mathcal{L}}{partial dot{x}}=frac{1}{3}m^2dot{x}^3-m^2omega^2xdot{x}$

$egin{aligned} frac{d}{dt}frac{partial mathcal{L}}{partial dot{x}}-frac{partial mathcal{L}}{partial x}\ =m^2dot{x}^2ddot{x}-m^2omega^2dot{x}^2-m^2omega^2xddot{x}+frac{1}{2}m^2omega^2dot{x}^2+frac{1}{2}m^2omega^4x\ =m^2dot{x}^2ddot{x}-m^2omega^2xddot{x}-frac{1}{2}m^2omega^2dot{x}^2+frac{1}{2}m^2omega^4x\ =m^2ddot{x}(dot{x}^2-omega^2x)-frac{1}{2}m^2omega^2(dot{x}^2-omega^2x)\ =m^2(ddot{x}-frac{1}{2}omega^2)(dot{x}^2-omega^2x)\ =0 end{aligned}$

請問這是哪個次元的諧振子？

-------------------------------------------------------------------------------------

好的下面根據回復提醒，修改 $V(x)=-frac{1}{2}momega^2x^2$

$mathcal{L}=frac{1}{12}m^2dot{x}^4-frac{1}{2}m^2omega^2x^2dot{x}^2-frac{1}{4}m^2omega^4x^4$

$frac{d}{dt}frac{partial mathcal{L}}{partial dot{x}}-frac{partial mathcal{L}}{partial x}=m^2(dot{x}^2-omega^2x^2)(ddot{x}-omega^2x)=0$

怎麼差了個符號？再改 $V(x)=frac{1}{2}momega^2x^2$

$mathcal{L}=frac{1}{12}m^2dot{x}^4+frac{1}{2}m^2omega^2x^2dot{x}^2-frac{1}{4}m^2omega^4x^4$

$frac{d}{dt}frac{partial mathcal{L}}{partial dot{x}}-frac{partial mathcal{L}}{partial x}=m^2(dot{x}^2+omega^2x^2)(ddot{x}+omega^2x)=0$

這下就是完美的諧振子了。

$mathcal{H}=dot{x}p-mathcal{L}=frac{1}{4}m^2(dot{x}^2+omega^2x^2)^2$

但是 $p=frac{1}{3}m^2dot{x}^3+m^2omega^2x^2dot{x}$ ， $dot{x}$ 是個三次求根公式，哈密頓量其實很複雜，並不是一個簡單的諧振子的哈密頓量的平方，這麼複雜的一個算符，我不期望它有諧振子那種能級。而且就算是諧振子的哈密頓量的平方，能級也變完了，所以量子化出來應該不一樣的。

附贈：

$dot{x}=(frac{3p}{2m^2}+sqrt{(frac{3p}{2m^2})^2+(omega x)^6})^frac{1}{3}+(frac{3p}{2m^2}-sqrt{(frac{3p}{2m^2})^2+(omega x)^6})^frac{1}{3}$

簡單說一些東西，也許和題目無關，但也部分說明了，從拉格朗日量出發量子化得到的物理不一定是靠譜的。以下討論在場論語境。

正則量子化框架下的量子場論，是以自由場算符來構造相互作用（基本是多項式），所以正則量子化很關鍵的一步是，我們需要將經典的哈密頓量 $H$ 分為自由部分和相互作用部分，自由部分給出自由場算符，進而順便相互作用部分也被量子化了。從拉格朗日量出發也在這個框架內。如果熟悉 Weinberg 量子場論的思路的話，當然也可以通過群表示的方式來理解正則量子化，這是一個從經典（具有Lorentz對稱性的）拉格朗日量構造出了一個 Poincare 群的表示的過程，其構造的理論自然地滿足 S-matrix 的 Lorentz 不變性。

但是，正則量子化有一個讓非常人不適的地方。就是同一個拉格朗日量可以給出不同的表示，很簡單，分離不同的自由部分就行。這就意味著，同一個經典的拉格朗日量，可以給出不同的量子場論。這大概和lz討論的東西差不多鬼畜。

利用對稱性方法，我們也許可以推導或者說「猜出」正確的自由場算符（以及對應的拉格朗日量）應該具有什麼形式，但是一旦加入相互作用，一切都變成未知的了。所以重整化是必要的，因為我們沒有任何理由認為，我們將經典的拉格朗日量隨意量子化後得到的就是「真實」的物理。那麼如何尋找一個「更靠譜」的量子化呢？那自由場還是告訴了我們一些東西，比方說，傳播子在 $q^2 o m^2$ 的時候是一個單極點，這裡的m是自由場具有的質量。所以，如果要試圖「相信」我們量子化方案是正確的，則完整的傳播子的單極點位置應該對應質量。諸如此類。

離題太多了。說實話，在量子場論中我對運動方程沒什麼實感。但按直覺來說，運動方程大概還是挺重要的，比方說不同的運動方程的理論大概就有不同的物理（吧？）但是，反過來想，既然同一個（經典）拉格朗日量都可以給出不同的物理，那麼具有相同運動方程的拉格朗日量的可能性就更多了。其中我覺得有趣味的是（也可能不存在），給出同一個量子場論的不同（無論是經典的還是量子的）拉格朗日量，大概這也是lz感興趣的。不過對此我就沒什麼了解了，不知是否有人對此有所思考？

對你給的新Lagrangian求Hamiltonian，得到： $mathcal{H}=frac{1}{6}m^2dot{x}^4+frac{1}{2}m^2dot{x}^2omega^2x+frac{1}{2}m^2omega^4x^2,$

有： $dot{x}=frac{partialmathcal{H}}{partial p}=frac{1}{3}pdot{x}^2+pomega^2x,$ $dot{p}=-frac{partialmathcal{H}}{partial x}=-p^2omega^2-m^2omega^4x,$

單純這樣看對這個東西是沒做quantization的。才疏學淺，你指的非規範變換是什麼？