存不存在這樣的函數？

01-30

假設一個人以初速度v行駛總路程為s那麼剩餘時間為t 那麼速度y與時間x的函數關係應該是怎樣的才能保證剩餘所需時間恆為t？

原題符號看著有點彆扭= =，換一下：

假設總長度S，剩餘時間T=const，任一瞬時速度v，距起始時間t（原題中s，t，v有一個多餘，我去掉了初始速度）

有以下關係式

$v |_{t=0} =frac{S}{T}$ （1）

$v=frac{S-int_{0}^{t}vdt }{T}$ （2）

然後我們就可以快樂地解微分方程了= =

由（2）有

$frac{dv }{v} =-frac{1}{T} dt$

從而

$v=Ce^{-frac{1}{T}t }$

將初始條件（1）帶入

$C=frac{S}{T}$

所以 $v=frac{S}{T} e^{-frac{1}{T}t }$

看來輪子哥的感覺不錯（逃

社運動方程為 $u( au)$ ，根據條件有

$frac{s-u}{u}=t, u|_{ au=0}=0$

這玩意（一階的 ODE，很好辦的）解的導數就是你要的答案。

姑且認為你所說的「剩餘時間」指的是以當前速度勻速行駛到終點所需時間，否則題目自己就矛盾了。

解微分方程 $[egin{gathered} y(x)t = vt - int_0^x {y(x)dx} hfill \ end{gathered} ]$

得 $y(x)=ve^{-x/t}$

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至於這個方程怎麼解的

f(x)T + f(x)=0 (逃

假設路程長1米，第一秒走1/2米，第二秒走1/4米，第三秒走1/8米，然後你把它平滑一下，應該是y=a^-x（我猜的，數學都忘光了，大家上

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看了第一名匿名的答案，至少我在形式上猜對了，我可以成為物理學家了（逃

-v=0m/s- 開個玩笑

y=v e^{-x/t}

咦我居然解對了。。我一個月沒碰這玩意了啊。。

我感覺是要滿足這個條件。。但是不會求求大神。。（這算問題補充吧。）

假設存在函數的話，且任意一點不小於0的話，那麼時間肯定是單調不減的，如果要讓剩餘時間不變，那麼速度只能恆為0或者無窮。

所以如果將剩餘時間定義為剩餘路徑除以當前速度的話

那麼

剩餘路程=總路程-已走的路程

$yt=s-int_0^xymathrm{d}t$

兩邊求導，再解微分方程

$y=ve^{-frac{1}{t}x}$

具體的話：

$yt=s-int_0^xymathrm{d}t$

$frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}t=-y$

$frac{mathrm{d}y}{y}=-frac{1}{t}mathrm{d}x$

兩邊積分，加上積分常量

$y=Ce^{-frac{1}{t}x}$

又

$y(0)=v$

得到

$y=ve^{-frac{1}{t}x}$

換一個思路來看這個問題:不妨把你給的t當作已知常量，那麼運動完畢速度一定是v=s/t,這樣可以求得加速度，(2as=v平方-v平方),a=(s平方/t平方-v平方)/2t;

意思就是，初速度已知，以這個加速度運動指定距離，時間t就是個固定值;

那麼你要求的y,與瞬時速度的關係根據(v求t=v+at)得到最終關係表達式:

y=(v+(s平方/t平方-v平方)/2)/t;

這就是要求的y與t的函數，v是初速度。

另，記得取絕對值！