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數學數學分析積分

關於無窮積分的一個命題？

01-29

條件：假設z(t)是一個函數（實數函數或者複數函數應該是不影響的）。對任意的t以及正數T， $frac{1}{T}int_{t-T/2}^{t+T/2}z(t)dt$ 存在。
並且我們假設對任意的t， $lim_{T ightarrow infty}frac{1}{T}int_{t-T/2}^{t+T/2}z(t)dt$ 都存在，並且都等於A。（即該極限和t無關）
那麼能否得出結論，z在任何區間上的平均值，隨著區間的長度趨於無窮，而趨於A？

寫成數學形式就是，對任意 $epsilon >0$ ,存在 $delta$ &>0。當 $b-a>delta$ .時， $|A-frac{1}{b-a}int_a^bz(t)dt|<epsilon$
我是物理系的學生，對書上把某個定義寫成條件中的形式而不是結論中的形式感到奇怪。是不是條件無法得到結論？有哪些反例呢？
已經被王箏的回答解決。

考慮這樣一個函數：從0開始向實軸正方向，每次先畫長度n高1/n的線段，再跳過2^n，這樣一直下去。

首先驗證滿足問題條件，固定區間中點的時候，因為0左邊都沒有，所以均值不依賴中點的選取，不妨設區間中點為原點。雖然有不為零的地方，但取值0的占絕大多數，分母增長的很快，所以均值還是零。然後是結論，因為存在任意長度的非零區間，所以一致收斂不對。

圖畫出來大概是這樣：

大字標明：每個小區間的值都取成1。。nc了不好意思，感謝@小流雲指出

考慮這個函數：

$fleft( {x} ight) ={left( -1 ight)}^{lfloor log_{2} {left| x ight| } floor}$

它在 $x=0$ 無法定義，不過不影響任意區間上的可積性。

可以驗證 $lim_{T ightarrow infty}frac{1}{T}int_{t-T/2}^{t+T/2}f(x)dx=0,forall t in mathbf{R}$

修訂：簡單來說，不難證明 $left| int_{t-T/2}^{t+T/2}{left( -1 ight)}^{lfloor log_{2} {x} floor}dx ight| le2t$ 。

然後取這種區間 $left[ a,2a ight] ,(a ightarrow infty)$ ，就能構造出反例了。

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