（從數學上看）學會擰魔方難在哪裡？
不考慮速度、盲擰等花式玩法，不看教程，不看公式，自己鑽研出解法。
學會擰魔方難在哪裡？有哪些知識和技能需要培養？
難點在於，並不存在直觀且簡潔的方法，可以在保持現有成果的情況下擴大戰果。每當你想還原更多的部分，你的轉動最終一般只會導致一個結果：已經還原的部分被破壞掉了。
這件事情越到還原的後期越掃興。比如有的人憑藉一點點運氣還原了兩面以後，會試圖還原第三面，但99%的情況是已經還原好的兩面被破壞掉了，並且那兩面也是偶然才還原好的，想弄回去都想不起來了。於是失去了耐心，改天再玩。
以上結論僅適用於第二層及以上。這也是普遍認為魔方第一層（第一面）很容易還原的原因。高階魔方同理，所以我認識不少不會還原三階魔方的朋友，他們可以很輕鬆的搞定N階（N &> 7）魔方的一面。
而教程的作用，就是告訴你如何定義階段性還原成果（例如把還原兩面作為一些階段的成果是不合適的，這會導致後續的還原過程中很難保持該成果），如何在前一步的基礎之上逐漸擴大成果，直到還原。
至於有哪些知識和技能需要培養（如果確實不想參考現成的公式），無非就是自己動手豐衣足食沒有公式創造公式唄。你會試著找一種還原的思路以及一系列轉動序列或規律，使得可以在保持現有還原成果的情況下比較容易地繼續還原剩下的部分。當然，無論你找到了什麼樣的轉動序列或規律，我們都會把這類「能夠保持魔方的一部分不變，並改變另一部分，從而達到擴大戰果目的」的轉動序列稱之為「公式（algorithm）」。最後你會研究出一種解法，它通常分成若干個步驟。在每一步會有一個目標，例如完成一面，一層，或是一些角塊、棱塊、方向、位置的組合。然後每一步你會用你自己發現的公式集（當然你也可以迴避 公式 這個詞，用方法、套路、口訣等等類似的名詞）來解決各種情況以達到下一步。最後你完成了所有步驟，解決了所有情況，魔方就還原了。或者你漏了一些情況，魔方就以一定概率還原了。就這麼簡單。
我覺得難點在於數學更擅長解決存在性的問題，而還原魔方更多的是一個「構造性」的問題。
構造魔方公式的過程中會用到群論里的共軛（Set up Reverse）和交換子（轉換機），但對於完全沒接觸過魔方的人來講，這些東西怎麼具體的用到魔方上不是很顯然的。另一方面，對於魔方玩家來說，並不需要了解相關的數學理論，也可以熟練地掌握上面兩種括弧里對應的技術。
比如說，從數學上看，魔方的旋轉構成一個群G，考慮它的導群G，[G:G]=2，這個結論魔友一般不會關心；但是翻譯成魔方的語言，在差一個奇偶轉換下，整個魔方可以用轉換機解決，即可以拆成三循環的複合，聽起來就有點意思了？這就是盲擰的方法嘛。然而這個理解對解魔方還是沒什麼幫助……
小提示，如果想純粹的自己思考的話，先還原棱再還原角（或者反過來）的思路比一般的層先法更加自然一點。這樣的一種一種塊解決的方法在各種魔方的還原中也被廣泛應用。
如果目標僅僅是復原，且不依靠外力獨立研究的話，我認為難度是在於心理障礙吧。畢竟大多數人對魔方這個東西的態度是敬而遠之、望而生畏；不過事實上如果放好心態投入一定的時間，其實並不難。
難在絕大多數人不具備只使用數學方法還原魔方所需要的知識和能力。
具體需要學習哪些我也不清楚，我同樣不具備這樣的數學能力，可以參考一下相關論文。首先一個三階魔方的變化數為：
約4.325×10^19種情況。(具體為432 520 032 744 898 560 00)所以想靠隨機轉動復原可以輕鬆的——消遣一生。(最初魯比克老爺子發明之後也沒轉回來)回歸主題，「不依靠任何公式獨立完成魔方」對於一個有些悟性的人是很有可能的，其難點主要有以下(以下內容不涉及魔方公式，但部分內容涉及魔方復原原理解析，對於「獨立還原」的概念有影響)：
1.充足的時間。
對於一個沒有接觸過公式的人，推理魔方是一件很消耗時間的事，從魔方的千變萬化中找尋規律，然後將規律整合為復原魔方的方法，需要付出不小的精力。2.足夠耐心的去嘗試。
大多數人對魔方的第一步理解肯定是先拼一個面，一面之後才是復原魔方的門檻，未接觸過魔方的人可能並不會立刻想到「層先法」。
部分人會認為拼完一個面以後，下一步是拼第二面。(這樣當然也可以還原，但目前來看顯然不是最優解)而選擇了複雜的步驟以後，往往之後的推理難度會更高，而公式的整體總結也更加困難。所以要推理一個魔方需要足夠的耐心去試錯，同時需要篩選出正解。3.理解魔方的結構。
首先要了解魔方每個塊兒的排布(中心塊兒永遠不會移位，棱塊兒有兩個顏色位於邊側中間，角塊兒有三個顏色位於八個角)其次要了解塊兒的顏色排布(上白，下黃，前紅，後橙，左綠，右藍)4.總結自己的公式。
試圖推理過的朋友應該不難發現，拼完一面之後，再進行旋轉就會將之前拼好的打亂，從而導致前功盡棄，這也是難點所在。*所以魔方公式的原理就是：將一組拼好的塊兒適度打亂，之後再以另一種途徑還原。從而在不打亂現有的前提下，改變未完成部分的排列。*
我剛接觸魔方的時候，就是用這個規律推理了前半部分公式，那時候我拼二層一個棱塊用15步公式，推理到後來pll步驟時，實在是沒了耐心，就看了公式。
所以推理魔方要善於總結規律。
5.良好的瞬間記憶。
嘗試性轉動時，需要記住自己轉過的每一步。這樣成功了可以立刻寫下這個公式，失敗了可以原步驟逆向退回。6.歸納總結能力。
首先你要確定你的還原方式(按層或按面，甚至用六面十字法。)，再確定分為多少步。當你推測出一大堆可行的公式時，就要總結一下每一個步驟需要哪些公式，而哪種公式可以應付哪些對應情況。當你每一步的公式都足夠豐富，以至於能解開該步驟所有情況時，你就成功的推理還原了一個魔方。
首先，你得從結構上搞懂魔方的還原狀態是什麼樣的，這應該是常人對於魔方最大的一個誤區了
以三階魔方為例，常人眼中三階魔方的還原就是六個面都還原，所以就得出了先第一面再第二面這樣的思路，但是實際上這樣的思路是基本行不通的從結構上看，三階魔方分為棱塊，角塊，中心塊三種，其中中心塊的位置不發生改變，同時中心塊方向的改變不改變魔方的狀態，簡單來說就是中心塊永遠呆在那個地方，是什麼顏色就是什麼顏色，所以中心塊可以作為我們還原的基準。棱塊有兩個顏色，這兩個顏色物理上不可分，是一個整體，而且棱塊不可能跑到角塊的位置上，角塊也不能跑到棱塊的位置上，這樣我們就從中找出了兩個群。那麼對於一個棱塊來說，它的還原的定義就是它的兩個顏色和與其相鄰的兩個中心相同。角塊也同理。這樣來看我們就得出了魔方還原的定義:所有的棱塊和角塊均已復原。
接下來就可以自由發揮了，但是就像@陳霜 說的那樣，你需要找出一些不影響當前進度的公式來擴大你的成果。從數學上看的話，最常用的應該是轉換機原理，簡單來說就是對於轉動A和B來說，你需要通過一些群論的知識來分析ABA』和B』的差異，如果學習過相關的知識的話，可以知道ABA』約等於B，所以公式ABA』B』所影響到的部分很少，也就可以利用這個原理創造出的公式來保持進度。當A交B為1時可以知道這是一個三循環公式，改變的三個塊為AB相交的位置上的塊，A轉動以後AB相交位置上的塊以及B轉動以後AB相交位置上的塊。同時在公式前加上轉動C，公式後加上C』，這樣公式的形式就成了CABA』B』C』，很容易得知這也是一個三循環公式，但是C和C』的加入改變了這個三循環交換的塊。這也就是常說的set up後面有時間的話更新一個利用這個思路設計還原方法的實例。實際並不需要啥更艱深的知識，基本的科學研究思維而已。
1，發現一個新問題。
2，不斷實驗觀察並記錄，總結出一些模式。
3，提出自己的猜想並實驗記錄，反覆驗證，達到對事物更進一步的認識。
4，歸納總結。
這些過程我們都很熟悉，但我覺得絕大部分人會倒在最最基本的一項上，那就是「記錄」，很多人只會拿著魔方轉來轉去，偶爾碰巧復原了一些情況就驚喜不已，可是具體是怎麼轉好的，能不能複製這個過程呢，並不能，成功並沒有轉化為經驗積累下來，然後又去不斷重複其實已經轉動過千萬次的過程，依然毫無發現。
所以能獨立復原魔方的就兩種人，一是聰明記憶力好的人，二是像我這種認認真真把每一步變化都記到紙上的人。
這個問題無法回答。從題主的前提預設中我可以隱約感覺到題主是想不利用任何教程和技巧，通過鍛煉和提高自己的原生基礎能力（包括但不限於記憶力，空間幾何能力）從而自主完成魔方還原？我這麼愚笨的人跟著最最基礎教程也勉強能在兩分鐘內完成魔方的還原。不考慮任何花式技巧，不追求手速，靜下心來仔細去看一份教程，完成魔方的還原根本就不難，同意一個答主的答案。就是「懶」。
魔方並不是難在魔方的本身，魔方本身並不是像好多人理解那樣的是高智商人群玩的遊戲，當給他們解釋的時候比較抗拒。最難的並不是學習公式，記憶，手法技巧什麼的，這些東西只要勤加練習都可以達到一個很高的水準。最難的地方在於堅持，魔方高手只不過是那些堅持下來的人(這裡的堅持只是一個必要條件，而不是說只要堅持，就能成為高手，我只是說這是比較難的地方)，很多人認為公式多而不繼續進步，又或者因為某一段時間的瓶頸而感到枯燥無味，這是許多人放棄魔方的理由。但是我想說的是這些只是看起來難罷了，你只要把這段時間熬過去了，會出現轉機的。另外，一個十分重要的觀點，是什麼讓一個人堅持下去夜以繼日地玩魔方?是興趣，如果沒有興趣，需要培養興趣，如果實在沒有興趣，建議還是不要再這樣的事情上浪費時間了。另外我否定如果擰魔方高考加分的話，就會變得簡單的觀點，加不加入高考對難度沒有任何影響，影響的是你玩魔方的動力。
謝邀
魔方並不困難，但若是自己在不藉助任何外力（魔方公式等）的幫助下還原魔方，我認為最難的是你沒有一個堅定的意志力。魔方公式是很熟悉魔方的大佬按照一定的規律來總結出的東西（簡單的只有不到10個，cfop119個，橋式也有幾十個，另有更複雜的zbll等公式）。若是不藉助這些公式只靠自己摸索，很容易在找到一定的規律前失去信心。國外有個哥們兒花費了9年時間自己研究出了魔方（只有兩個公式）。順便一提，還原的複雜程度基本和公式量呈負相關，公式越多，還原步驟往往越少。
看到其他回答，有人答記憶力（記憶顏色），其實魔方還原並不需要特別的記憶（即便公式也是肌肉記憶為主），所以覺得魔方（非盲擰）需要記憶是不太正確的。既然要從數學的角度看，那什麼東西不都難在建模么。
難在面與面之間的幾何聯繫 設想你轉動一面的同時對應對面也會發生變化，就要很強的空間想像能力了。單純的看公式去轉＝把總結出來的關係直接帶入 所以呢 我認為最主要的還是面與面間的關係
獨立還原魔方並不是一件很難的事，甚至不需要太多的數學推導能力，更多的是探索，實驗，觀察，歸納總結的過程，好像更接近自然科學方法。總結下我還原魔方的經歷就是:
1.探索觀察
2.遇到問題3.方法探索4.歸納總結5.重複上述步驟其中運用到數學推導能力，準確來說是腦補空間變換能力的步驟就是，方法探索。這個過程不一定要求直接還原魔方，在不斷探索總結過程中，你會發現一些規律，利用這些規律你就會發現還原魔方問題就會分解為很多小問題，方法探索就是尋找這些小問題的解決方法。這樣一來魔方就能一步一步還原。最近要考試，先佔坑，看的人多的話，之後再把我總結的一套還原方法寫一寫，對一些想自己動手還原魔方的小夥伴應該有些啟發～很有意思的愛好！
從概率學上看:魔方的圖案狀態的數量可以這麼比喻:一秒鐘轉三下,而且每次轉動之後的圖案狀態都跟之前的完全不重複,想要遍歷所有的數量,所需要的時間------30倍的宇宙壽命!
你說這我可咋蒙才能蒙出來複原狀態!