標籤：

不等式微積分數學分析積分高等數學

一道關於積分不等式？

01-29

謝邀：這個問題本質上就是一個泛函極小值問題，首先考慮函數 $p(x)=x^2(x-1)$ ，這個函數滿足 $p(0)=p(1)=p(0)=0$ , 而且 $p(1)=1$ . 我們考慮函數

$F(t)=int_0^1((p(x)+t(f(x)-p(x))))^2 dx$ ,

我們只需要證明 $F(1)geq F(0)$ ，因為 $F(1)=int_0^1 f(x)^2 dx,quad F(0)=int_0^1 p(x)^2 dx=4$

我們不難發現

$F(t)=int_0^1 2(p(x)+t(f(x)-p(x))) (f(x)-p(x)) dx$ ,

$F(t)=2int_0^1((f(x)-p(x)))^2 dxgeq 0$ ,

特別的，我們發現

$F(0):=2int_0^1 p(x) (f(x)-p(x)) dx=0$ ,

這裡需要兩次分部積分，然後利用 $p(x)=0$ 。

於是根據taylor公式，我們發現 $F(1)-F(0)=F(0)+frac{1}{2} F(xi)geq 0$ 。

證明完畢。

這個問題從高觀點來看，本質上是一個泛函極小值問題。這個問題最著名的是二階的情況, 也就說下面的問題：固定一個邊界 $f,$ 取遍一定函數族 $u$ ，使得它在邊界上等於 $f$ , 而且能夠保證下面的泛函達到最小，

$inf_{umid_{partial Omega}=f}int_{Omega}| abla u|^2 dx$

這就是著名的Dirichlet問題，值得一提的是，滿足極小值的那個函數是一個調和函數

$Delta u=0$ ，這個性質在很多書上也被稱為調和函數的能量最小刻畫。給一個思考題，能不能找到一個 $C$ 使得下面的不等式

$int_0^1 f(x)^2 dxgeq C$

對於任意連續可微而且滿足 $f(0)=0, f(1)=1$ 的函數 $f$ 成立。所以，你看，一個小小的問題也有巨大的發散。對了，你這個問題的高緯問題是如下的問題：

$int_{Omega}|Delta u|^2 dx$ ,這個問題和雙調和方程相關，曾經是一個熱門的研究問題。在數值方面這個問題涉及到高階有限元，所以貌似（曾經）還蠻難的，具體的我就不清楚了。

已有dlchen大神珠玉在前，我也給出一本資料上的解答，事實上思路都差不多。

首先，一眼可以看出這是史濟懷的書，我也看了下書後的提示，即

按此寫出解答應該是沒問題的

而徐森林的書上給出了完整解答，感覺就是對上面提示的擴寫

推薦閱讀：

※我一看到一個證明題，總是會花很多時間去想思路過程，我覺得很累，有時候覺得自己的邏輯也說不通，怎麼辦？
※關於《陶哲軒實分析》一書中對強數學歸納法原理的理解和疑問…？
※如何理解雅克比矩陣？
※函數的凹凸性漫談｜高等數學漫步（二）

TAG:微積分 | 高等數學 | 數學分析 | 積分 | 不等式 |