擲 100 次骰子(6面)，至少出現20次5的概率是多少？

01-29

在複習高中的combination，發現現在已經無法理解扔硬幣n次，恰好出現k次的那種問題的解法，索性就問一個高級版的問題。
用python生成隨機數模擬的還是算了，也不要直接扔一個公式算，公式我都懂，但就是不理解裡頭的內在邏輯。

二項分布是什麼原理你記不清這個真的不能賴別人，N次獨立事件里發生了k次，首先從N個事件里選出k個來是C(N,k)，這k個發生了，其餘（N-k）個沒有發生，那麼每種子情況概率求和就是

$C_N^k p^k(1-p)^{N-k}$

按計算器還是寫程序求20個數的和都沒什麼難的，當然中心極限定理也是棒棒的，不過反正還是要查表……

（手機作答）

分解問題:

最少出現20次5→

出現5有20次概率+21次概率+……+100次概率

或者→

最多80次沒出現5，

80次沒出5+79次沒出5+……+0次沒出5

偽通項（參考二項式分解）:

C20_100*(1/6)^20*(5/6)^80+…………

C100_100*(1/6)^100*(5/6)^0

我發現我突然不會算上面的求和了

（貌似可以通過一些複雜轉換變成兩個二項式相減的形式？不知道對不對，C的不同底轉換也忘光了，姑且寫一個吧。比如

（1x6+5/6）^100-（1/6+5/6）^19/C20_100*(5/6)^81，不過這個肯定是錯的）。

我大腦運存太低，手頭又沒稿紙沒電腦，先寫到這兒您自個兒算吧。

為什麼不問問神奇的 Wolfram|Alpha 呢？

遇到這種問題一般會考慮用二項分布的正態近似。當實驗次數很大時，這一近似是非常可靠的。100次擲色子得到5服從B(100,1/6)。可以用同均值方差的正態分布近似，其中均值是100/6，方差是100×5/36。然後求N((20-100/6)/sqrt(100×5/36))，就能得到答案了。

以下是 @靈劍在評論區的補充：

補充一下，比較好的做法是用20.5，而不是20，精度會大大提高。因為其實是20到21之間是分界線嘛……實際算下來，實際值是0.84811，20.0的估計值是0.81445，算是不錯了；然而20.5的精度達到了驚人的0.84816，只差了0.00005……

對於不懂編程，看不懂什麼是Python，然後科學計算器各種overflow，最後只能靠Excel的人來說……

方法A: 首先是暴力計演算法，這個方法原理比較容易理解。

1. 在丟100回骰子的過程中：

出現0(零)次5的概率是(1/6)^0*(5/6)^(100-0)*C(100,0)
只出現一次5的概率是(1/6)^1*(5/6)^(100-1)*C(100,1)
只出現兩次5的概率是(1/6)^2*(5/6)^(100-2)*C(100,2)
只出現三次5的概率是(1/6)^3*(5/6)^(100-3)*C(100,3)

直到

只出現100次5的概率是(1/6)^100*(5/6)^(100-100)*C(100,100)

可以整理出一個formula : 只出現 n次5的概率是(1/6)^n*(5/6)^(100-n)*C(100,n)

= (1^n*5^(100-n)/6^100)*C(100,n)

2. 建立一個excel表格，把上面的公式代入，很容易就可以得到投出各種次數5的概率。

然後直接sum 20~80 行，或者 1- (sum 1~19行)，約為： 21.975%

附圖：

方法B：Excel其實有一個公式 BINOMDIST，就是計算類似這樣的成功率問題的。

BINOMDIST(n, x, p, cumulative)

這個function計算的是：在x個獨立的Binomial trials里，出現n次或者更少的成功次數的概率

其中

n 為非負整數（0或者正整數）
x 為正整數（本例中為100次）
0 &< p &< 1（成功的概率，在本例中為1/6）
TRUE 或者 FALSE來控制結果是否累積

「擲 100 次骰子(6面)，至少出現20次5的概率」可以理解為「，在100次中，至少20次成功地丟出5的概率」。

然後就可以用這個公式了：

P(exactly n successes) 列的公式是BINOMDIST(n, x, p, FALSE)，計算正好出現n次5的概率
P(n or fewer successes)列的公式是BINOMDIST(n, x, p, TRUE)，計算至多出現n次5的概率
P(at least n+1 successes)列的公式是1-P(n or fewer successes)，計算至少出現n+1次5的概率

所以本題所求至少出現20次5的概率的答案就在第19行，紅字顯示的，21.97498..%

既然題主已經答了我就答一下關於現成函數調用的問題

from scipy.stats import binom print binom.sf(19,100,1.0/6)

binom是scipy里處理二項分布的類

如果只計算「擲 100 次骰子(6面)，恰好出現20次5的概率」可以使用以下函數既二項分布的概率質量函數PMF（probability mass function）

print binom.pmf(20,100,1.0/6)

如果要使用pmf函數求解本題的話可以這樣寫(把20次、21次...100次都加起來)

print sum([binom.pmf(i,100,1.0/6) for i in xrange(20,101)])

對概率密度（質量）函數的積分（求和）就是累積分布函數CDF（cumulative distribution function）如以下代碼是求「擲 100 次骰子(6面)，出現5的次數不超過19次（小於20次）的概率」

print binom.cdf(19,100,1.0/6)

那麼自然而然「擲 100 次骰子(6面)，至少出現20次5的概率」就是「出現5的次數不超過19次」的對立面，所以代碼就是

print 1-binom.cdf(19,100,1.0/6)

這也有一個名字叫做生存函數 SF（survival function）

print binom.sf(19,100,1.0/6)

也就是關於這個問題最現成的函數

參考 scipy.stats.binom

In[1]:= Sum[5^i Binomial[100, i]/6^100, {i, 0, 80}] // N Out[1]= 0.21975

如果恰好有80次不是5，那其他5個數字的排列一共有5^80種可能，在100個位置中選80個位置插入一共有Bin(100,80)種方法。所以總的排列方法一共是5^80 Bin(100,80)。

然後考慮79次不是5,......,一直到0次不是5。全加起來除以6^100中可能，最後得到概率是21.975%。

我是題主，學了兩天終於學會了，這題自問自答一個：

首先，先發一個用Python模擬100k次的結果。

如果我的代碼沒錯的話，那稍有常識的人都可以看出，這題的答案在百分之22左右。

數學解法是這樣的：

我用了math module，分別把permutation formula和combination formula變成函數。然後再寫一個二項式概率公式的函數，裡面調用了先前寫的combination的函數

最後我逐個計算從恰好出現20次5的概率，恰好出現21次5的概率，恰好出現22次5的概率……恰好出現100次5的概率，然後把他們相加起來。

最終結果是百分之21.97，這樣就與上面模擬出的結果已經很接近了。

當然最後計算部分還是比較暴力，不知道有沒有更好的方法。

另外，有沒有誰知道以上函數有沒有現成的可以直接調用？