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請教如何證明同等體積時球體表面積最小?


謝邀。這是一個比想像中要複雜得多的問題,等有時間我會來回答。

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哪些數學定理在直覺上是對的,但證明起來很困難? - 趣味數學

這個問題實際上應該列在上面的問題下面,因為證明的難度會大大超出幾乎所有人的估計,把這個問題全搞清楚要到1984年。。。是的,是1984而不是1884或1784.

考慮到標籤上只有立體幾何,我就先給一個極其不嚴格的物理證明:

考慮一個剛體,任取一個平面將剛體分為等體積兩部分,如果兩部分表面積不等,就扔掉表面積大的那部分,再把小的那部分翻過來替代大的部分的位置,體積不變,表面積減少。如果表面積相等但形狀不一樣,就扔掉其中一半,再把另一半翻過來替代原來的位置。如果形狀也一樣,就不做處理。再取一個將剛體分為等體積的平面,重複上面過程無數次。。。每做一次,體積不變,表面積不增,剛體沿平面對稱。無數次後,極限應為任取一個將剛體分為等體積的平面,剛體都沿平面對稱,這時的表面積應為最小,滿足這個條件的剛體只有球體。

如果你滿足於這個證明,就可以不用往下看了。

其實,上面這個證明,not even wrong. 連錯誤的證明都算不上,因為它根本說不清楚這個極限過程是如何取的。關於這個問題,可以參考上面問題中 @等待飛翔 的可愛的圖片。

下面我會概述正確的證明過程。之所以是概述是因為證明極其複雜(1984.。。。),全講清楚的工作量大概相當於大學數學系本科高年級20個課時左右。

第一步是比較簡單的,有一定數學素養的朋友都可以想到,就是以體積固定為條件,對錶面積做變分。 設表面積的變分為 A(t), 則表面積的極值取在一階導數為零處,經過一些比較複雜的計算可以算出A(t)的一階導數為零可以推出曲面的平均曲率為非零常數。

第二步,非零常平均曲率曲面是球面嗎?

1900年 Liebmann 證明了緊嚴格凸非零常平均曲率曲面是球面;

1951年 Hopf 證明 若曲面為球面在三維歐式空間中的浸入(可以自相交),不需要凸性即可證明非零常平均曲率曲面是球面,並猜想去掉拓撲條件(球面浸入)後,依然成立。此猜想在86年找到反例:Wente 環面。

1958年 Alexanderov 證明不自相交的非零常平均曲率曲面是球面。

1984年 Barbosa 和 do Cramo 證明Hopf 猜想在添加穩定性條件(表面積變分擾動後的二階導數非負)後成立。

從而, 如果一個曲面有極小的表面積,它一定是球面。

第三步,其實事情還沒完:表面的最小值一定存在嗎?

求最小值要取極限,但一般的曲面積分的定義並不足以在數學上支持一定的收斂性,可以繼續參考上面問題中 @等待飛翔 的可愛的圖片。數學上的處理是引入Hausedorff測度來定義曲面的面積從而證明等周不等式。(1978?)

好了,這樣我們知道了等體積時,最小表面積的曲面存在,而且只有球面。


我不懂高深的數學,但是我找到了一個巧妙的解釋:吹泡泡的時候,如果不考慮重力,那麼氣泡就會是一個標準的球體。而泡泡液有表面張力,這使氣泡的表面積最小化。在體積(也就是氣泡里的空氣)不變的時候,表面張力使泡泡液縮成了一個球體。所以氣泡是個球,不知道我說清楚了沒有…


首先,原命題等價於:在一切表面積相等的立體中,球體具有最大的體積。

然後給出等價命題的初等證明(直接上圖):

非初等證明可參考

1.《微分幾何五講》——蘇步青

2.《直觀幾何》 —— David Hilbert


啊哈

可以在球和正方體上均勻的抹上一層膠水 ,直接沾粉末or沙子or芝麻 根據粘取的物體(粉末or沙子or芝麻)的重量來算 多的就表面積大。

還有一個好難打字


最近剛好在看這方面的東西,大一弱雞,現學現賣~

其實就是用了一個euler lagrange equation……

最後就是證出來了mean curvature是常數……

所以就是球辣

(求大神指點)


相對質心表面勢能

通量和最小?


Peter Lax證過等周問題,就用Green公式。中科大史濟懷的那本數學分析有。

你套套Stocks公式吧。如果不行,我想變分法應該沒問題。


手機沒打開第一個的回答,以為只是在占坑。忽略我吧,一個打火車回家百無聊賴的人

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理論上的證明我是給不了了,不過倒是可以直觀的分析下: 考慮這麼個場景,假設有個球,我們分別用手按下去,和用勺子挖去一部分,再發散些,如果凹下去的部分和凸起的部分對稱。

想像一下,前者,為了保證體積不變,肯定要在其他地方鼓起來,表面積肯定是要變大的。

對比一下後者,打破了體積不變的條件後,不用鼓了,保持了表面積不變。


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