一個箱子有50隻球，一半黑，一半白，取球要放回。你有200次機會取球。問把所有黑球都取過至少一次幾率？

01-29

我有兩種思路不知道哪種對，想請教一下知乎上的高手。
第一種，200次中25個黑球都出現了，比，200次能出現各種情況。即（C（200，25）*50^（200-25））/（50^200) 化簡得 C（200，25）/50^25
思路是這樣的，200次中有25次取得所有黑球，餘下的200-25次隨便50球中哪一個，除以，200次每次50種，

但是感覺不對，因為如果取很多次，比200大很多，這個演算法得答案會大於1
第二種，1-（25黑球至少一個數沒拿到）
1-（C（25，1）*（49^（200-1）））/（50^200）
化簡得

1-0.5*0.98^199
思路是這樣的，25種黑球其中一種沒出現乘以剩下的在餘下199次抽球49種球隨意排列，比上，200次每次50種，
感覺這個靠譜但是算出來的答案感覺可能性太高了，比如只抽50次，成功幾率就高達80%，所以第二種肯定也錯。
本來不應該在知乎上問這種題，但是百度作業幫都是亂答，只能希望知乎有高手了。

標記黑球分別是黑1~黑25

取遍黑1~黑25的對立事件是至少有1個沒取到

沒取到黑1的概率是(49/50)^200

沒取到黑1且沒取到黑2的概率是(48/50)^200

依此類推，全部沒取到的概率是(25/50)^200

用容斥原理，取遍黑1~黑25的概率是

$sum_{n=0}^{25}(-1)^ninom{25}{n}(frac{50-n}{50})^{200}approx0.63666$

我覺得比較比較直觀的方法是用馬爾科夫鏈算，設總共26個狀態，分別代表取到0個不同黑球，1個不同黑球，2個不同黑球，，，，，25個不同黑球。然後寫出轉移概率矩陣P，自乘200次。。。P0-25的200步轉移概率應該就是答案了吧。