如果力不等於質量乘以加速度，而是質量乘以速度相對於時間的一百階導數，那麼世界將會怎樣？

01-29

由於速度是位移關於時間的1階導數，所以力變成了位移相對於時間的101階導數，即：

$F=m frac{mathrm{d}^{101}s}{mathrm{d}t^{101}}$

那麼假如我們給予一個力F，會得到以下的位移結果

$s=frac{F}{m} frac{t^{101}}{101!}$

假設我們對1kg的物體施予1N的力，那麼在s=1cm即0.01m的時候，時間為

$frac{t^{101}}{101!}=frac{1}{100}$

$t=sqrt[101]{frac{101!}{100 }}$

為了方便，計算

$t=sqrt[101]{100!}approx 36.649(s)$

你給一個很小的力，要在36.649秒以後才能略微看到你的力發生了作用。

但是，在s=1km即1000m的時候，時間變成了

$frac{t^{101}}{101!}=1000$

$t=sqrt[101]{1000 imes 101!}approx 41.478(s)$

你給物體施了1N的力以後，要36秒才能看到物體移動1cm，然而物體迅速加速，再過5秒，物體已經移動了1km。

假設我們有一個球在拋物線形的平滑斜坡上，斜坡提供的力和物體到拋物線底端的橫向距離成正比，求球的運動方程，即

$frac{mathrm{d}^{101}s}{mathrm{d}t^{101}}=-ks$

簡單使k=1，並且加入以下條件。

$forall nin N,frac{mathrm{d}^{101n}s}{mathrm{d}t^{101n}}=(-1)^n$

$forall n otin N,frac{mathrm{d}^{101n}s}{mathrm{d}t^{101n}}=0$

那麼解如下

$s=frac{exp(-t)}{101}+frac{1}{101}sum_{n=1}^{50}exp(texp(frac{(2n-1)pi i}{101}))+frac{1}{101}sum_{n=1}^{50}exp(texp(- frac{(2n-1)pi i}{101}))$

$=frac{exp(-t)}{101}+frac{1}{101}sum_{n=1}^{50}exp(tcos(frac{(2n-1)pi}{101})+itsin(frac{(2n-1)pi}{101}))$

$+frac{1}{101}sum_{n=1}^{50}exp(tcos(frac{(2n-1)pi}{101})-itsin(frac{(2n-1)pi}{101}))$

把虛指數並在一起算，消去i，得到餘弦。

$=frac{exp(-t)}{101}+frac{1}{101}sum_{n=1}^{50}exp(tcos(frac{(2n-1)pi}{101}))left[exp(itsin(frac{(2n-1)pi}{101}))+exp(-itsin(frac{(2n-1)pi}{101})) ight]$

$=frac{exp(-t)}{101}+frac{2}{101}sum_{n=1}^{50}exp(tcos(frac{(2n-1)pi}{101}))cos(tsin(frac{(2n-1)pi}{101}))$

看上去十分複雜。

實際上，在提供的力和速度成正比的時候，結果是 $exp(-t)$ ，無限接近但是卻永遠到達不了拋物線坡的底部。

在提供的力和位移的2階導數成正比的時候，結果是 $cos(t)$ 。

在提供的力和位移的3階導數成正比的時候，結果為一個減指數函數加上一個增指數函數乘以餘弦，在時間趨於負無窮大時為正無窮大，趨於正無窮大時，函數值上下波動，每次波峰變得更高，波谷變得更低，振幅還更大了。

在3階以上導數的情況下，都和3階導數一樣，趨於正負無窮大會上下波動。

實際上，我們寫成泰勒公式的形式，就一目了然了

$frac{mathrm{d}s}{mathrm{d}t}=-s,s=1-t+frac{t^2}{2}- frac{t^3}{3!}+cdots$

$frac{mathrm{d}^2s}{mathrm{d}t^2}=-s,s=1- frac{t^2}{2}+frac{t^4}{4!}- frac{t^6}{6!}+cdots$

$frac{mathrm{d}^ns}{mathrm{d}t^n}=-s,s=1- frac{t^n}{n!}+frac{t^{2n}}{(2n)!}- frac{t^{3n}}{(3n)!}+cdots=sum_{m=0}^{infty}frac{(-1)^mt^{mn}}{(mn)!}$

所以如果是101階導數，

$s(t)=sum_{m=0}^{infty}frac{(-1)^mt^{101m}}{(101m)!}$

個人認為，前面的答主都忽略了一個在物理學中，乃至在整個自然科學中極其重要的原理~

學過理論物理的人都知道，最小作用量原理適用於幾乎所有物理模型，其地位不亞於粒子物理學標準模型。該原理最早源於幾何光學中的費馬原理――光沿時間最短的路徑傳播。最小作用量原理是費馬原理在力學中的推廣，它是分析力學的基本原理，與牛頓力學完全等價。分析力學是一切理論物理的基礎，包括相對論、量子力學、統計物理，甚至是粒子物理學。

如果牛頓第二定律有問題的話，那麼最小作用量原理也就不正確了，幾乎所有的物理學分支都需要被改寫！

粗略地看，萬有引力也得從平方反比改成101次方反比，不然地球軌道太不穩定了。

那公式里那麼多個點你放哪裡。。。或許愛因斯坦就會發明別的記法來表示時間導數了吧

首先你要從速度對於時間的二階導數定義，一直定義到100階導數然後再來研究

推萌妹子推不倒了還有感覺這世界總是不變的了。。。

我覺得，問題在於。

就存在係數a

且滿足a*（速度相對於時間的100階導數）＝加速度

哈哈哈

如果力不等於質量乘以加速度， 而是質量乘以速度相對於時間的一百階導數，那麼世界將會怎樣？

如果力不等於質量乘以加速度，而是質量乘以速度相對於時間的一百階導數，那麼世界將會怎樣？