i 的平方為什麼等於 -1？

01-29

i的平方等於負數，即-1，-2，-3，-4……我的問題是為什麼它的平方是負數？或者是怎麼算出來的。我現在所知道的解釋是因為數的平方有正數，所以數的平方也會有負數，有正就會有負。或者這是人為規定！是為了應用，可是為什麼要這樣規定？沒得到答案。感覺不太滿足，能不能求大神盡量通俗易懂的解釋一下是怎麼來的，或者驗證一下它是存在的。
ps：我是文科生，盡量不要用大多的術語。多謝！！！！

謝邀.

首先建議題主先看一下複數的維基百科複數 (數學)中的歷史部分。

中文的感覺寫的不是很詳細，有能力可以看一下英文的Complex number其中的history部分。

wiki上說，複數的起源是三次方程求根公式，這個就不搬運和多解釋了，如果題主看不懂再議。

下面說一點自己的理解，換個例子解釋一下為什麼一定要假想一個平方等於-1的數.這些並不是歷史，只是個人理解.

雖然題主是文科生，但是想必也是學過數列的吧.那麼對於大名鼎鼎的斐波納契數列應該並不陌生.這個數列是：

$f_{n+1}=f_n+f_{n-1}, f_0=f_1=1$

斐波納契數列有很多直觀解釋，比如大兔子生小兔子什麼的……在此不多贅述。

那麼我們就很想知道，這個數列的通項公式是什麼.顯然這個數列不是簡單的等差數列或者等比數列.

現在，我們考慮一種更一般的數列：

$a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}, a_0=a, a_1=b, p,q e0$

為了求解通項公式，我們考慮這樣一個二次方程： $x^2=px+q$

如果這個方程有兩個不等的實根 $x_1,x_2$ ，那麼根據韋達定理，有 $x_1+x_2=p,x_1x_2=-q$ .

這個文科生也應該學過吧，別跟我說你都還給老師了……

那麼對遞推公式變形，兩邊同減去 $x_1a_n$ ，就有

$a_{n+1}-x_1a_n=(p-x_1)a_n+qa_{n-1}=x_2a_n-x_1x_2a_{n-1}=x_2(a_n-x_1a_{n-1})$

這個式子說明， ${a_{n+1}-x_1a_n}$ 是公比為 $x_2$ 的等比數列.這是一個非常好的性質，這也就是一開始為什麼要考慮那個二次方程的兩根的原因.

因此，就會有等式

$a_{n+1}-x_1a_n=A imes(x_2)^n$

其中常數A待定

同理，如果兩邊同減去 $x_2a_n$ ，就會得到另一個等比數列，因此就會得到下面的等式

$a_{n+1}-x_2a_n=B imes(x_1)^n$

其中常數B待定

兩式相減，就可以把 $a_n$ 解出來，即

$a_n=C_1(x_1)^n+C_2(x_2)^n$ ，其中 $C_1,C_2$ 是兩個待定常數.

現在只用了遞推公式這一個信息，還有初值沒有用呢.而初值有兩個，兩個方程兩個未知數，恰好能把 $C_1,C_2$ 確定下來，因此整個的通項公式就確定了.

這個方法稱為特徵根法或者特徵方程法，二次方程 $x^2=px+q$ 就叫做這個數列的特徵方程，而兩個根 $x_1,x_2$ 就叫做特徵根.

現在可以回頭來看斐波那契數列，對應的特徵方程是 $x^2=x+1$ ，特徵根就可以用二次方程的求根公式解出來，即 $x_1=frac{1+sqrt5}{2},x_2=frac{1-sqrt5}{2}$ .

利用上面的方法，就可以得到斐波那契數列的通項公式，

$f_n=frac{1}{sqrt5}left( (frac{1+sqrt5}{2})^n-(frac{1-sqrt5}{2})^n ight)$

這個公式叫做Binet公式.雖然數列每一項都是整數，但是最後的表達式卻帶有無理數，還是很神奇的.

現在我們回頭來看特徵方程 $x^2=px+q$ ，如果方程有兩個不等實根的話，那麼這種數列我們已經完全解決了.那麼什麼時候有兩個不等實根呢？判別式.

若 $Delta =p^2+4q>0$ ，方程恰有兩個不等實根.

若 $Delta =0$ ，方程有兩個相等的實根，這種情況留作習題.

現在我們來看 $Delta <0$ 的情況，形式上，我們也可以寫方程的兩根，分別是

$x_1=frac{p+sqrtDelta}{2},x_2=frac{p-sqrtDelta}{2}$

當然，題主肯定會問，哪裡會有根號下負數呢？這個是不成立的.

雖然根號下負數不對，但是數列還是在啊.比如說我們考慮這樣一個數列：

$b_{n+1}=2b_n-5b_{n-1},b_1=1,b_2=-3$

這個數列是可以寫出來的：

$1,-3,-11,-7,41,117,29,cdots$

但是通項公式卻沒辦法按照上面的方法來求.但是不要在意這些細節，先求求看.

按照求根公式，解出來的兩個根是 $x_1=1+2sqrt{-1},x_2=1-2sqrt{-1}$ .

並且假設這種帶 $sqrt{-1}$ 的數的運算和實數的運算是差不多的，那麼上面的推導依舊成立.

因此，就有

$b_n=C_1(1+2sqrt{-1})^n+C_2(1-2sqrt{-1})^n$

解方程得到 $C_1=C_2=frac1 2$ ，（乘方別想太多，就按照實數來算），因此

$b_n=frac{(1+2sqrt{-1})^n+(1-2sqrt{-1})^n}{2}$

這就是通項公式了.

也就是說，本質上還是在求根的過程中碰到了對負數開根號，但是這個事情又沒辦法避免，所以先試探著能不能帶著 $sqrt{-1}$ 去運算，然後就得到了所謂的複數.

當然，後來慢慢發現複數有各種各樣的好的性質，還有全純函數，黎曼面，複流形這些東西，以及複數在物理上面一大堆的應用，那就是後話了.

我記得是為了解決 -1 的平方根問題，才引入了 i

人類發現了規律後,總想以各種花來統一規律.複數的誕生也是這個規律 .

人性化這樣理解.

自然界中的規律並不是總能方便的寫成公式拆開來看.比如 $sqrt{x^2}$

在沒有複數的情況下

寫成 $sqrt{x^2}$ = $sqrt{x} * sqrt{x}$ 肯定有問題

因為這樣的話 x必須&>0

所以,你得這樣表示才科學

$sqrt{x^2} =sqrt{x} * sqrt{x}$ x&>=0時

$sqrt{x^2} =sqrt{-x} * sqrt{-x}$ x&<0時

這何其麻煩.尤其是當這個式子只是一個大公式里的冰山一角時.

而加入複數, $sqrt{x^2}$ = $sqrt{x} * sqrt{x}$ 便使得x在任何情況下都成立.

而在幾何方面

複平面可以完美的與旋轉想對應.這簡單就是發現了大自然的一個BUG.讓人可以如此簡單的將旋轉優雅的表示.比如當前點(1,0*i) 用複數的表示法就是1+0*i

乘以i就是逆時針旋轉90度.變成了 0+i

而逆時針旋轉45度則是用 (1+0)(1+i)=(1+i) (因為1+i 就是45度)

何其方便!

這個旋轉BUG不僅在二維時有效.三維旋轉也能用.具體可以參看四元數. Quaternions .並且是目前已知的平滑插值無比方便的方法.

還有一種物理理解是這樣,我們知道物體的空間變化有3種.

平移,旋轉,縮放.

平移是+ -

縮放是* /

那旋轉呢?

而複數代表旋轉的邏輯.

更有意思的是,這在三維中也適用.希望能幫到你

我一直以為這是規定吧

因為需要有些數的平方為負數，而-1是基本單位就像1一樣。你把因果關係搞反了，科學上需要一個數的平方為-1，所以i被設想出來。而不是你所發問的那樣

王箏同學的回答已經非常全面了，我就補充一下。複數最早是由於方程求根的問題而產生的。但是在產生之後數學家們發現其實複數的用處不僅僅限於表示方程的根，在其他方面，比如三角函數或者是分析學方面也有很大的用處。最有名有歐拉公式 $e^{ix}=cos(x) + i*sin(x)$ 。順便提一下，我們現在用來表示虛數的符號i也是歐拉最早開始使用的。現在，複數在複分析，應用數學，還有物理學方面應用廣泛，具體的信息Wiki上面應該都有，這裡就不再贅述。

最後提一下，數學上有一個代數基本定理，表述是這樣的，任何一個非零的一元n次復係數多項式，都正好有n個複數根。你看，引入了複數之後，一次方程一根，二次方程兩根，三次方程三根，這樣的設定是不是很具有數學美感。

以下摘自:Matrix67 《隨記：我們需要怎樣的數學教育？》

高中學複數時，相信很多人會納悶兒：虛數是什麼？為什麼要承認虛數？虛數怎麼就表示旋轉了？其實，人們建立複數理論，並不是因為人們有時需要處理根號里是負數的情況，而是因為下面這個不可抗拒的理由：如果承認虛數，那麼 n 次多項式就會有恰好 n 個根，數系一下子就如同水晶球一般的完美了。但複數並不能形象地反映在數軸上，這不僅是因為實數在數軸上已經完備了，還有另外一個原因：沒有什麼幾何操作連做兩次就能實現取相反數。比如，「乘以 3」就代表數軸上的點離原點的距離擴大到原來的三倍，「3 的平方」，也就是「乘以 3 再乘以 3」，就是把上述操作連做兩次，即擴大到 9 倍。同樣地，「乘以 -1」表示把點翻折到數軸另一側，「-1 的平方」就會把這個點又翻回來。但是，怎麼在數軸上表示「乘以 i 」的操作？換句話說，什麼操作連做兩次能夠把 1 變成 -1 ？一個頗具革命性的創意答案便是，把這個點繞著原點旋轉 90 度。轉 90 度轉兩次，自然就跑到數軸的另一側了。沒錯，這就把數軸擴展到了整個平面，正好解決了複數沒地方表示的問題。於是，複數的乘法可以解釋為縮放加旋轉，複數本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。順著這個道理推下去，一切都順理成章了。複數不但有了幾何解釋，有時還能更便捷地處理幾何問題。