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數學數學史

虛數是負數的平方根，為什麼是在三次方程中才出現的呢？

01-29

看數學書上說，對虛數的認識很大程度上是解三次方程的時候開始的。但虛數不是負數的平方根嗎？那為什麼二次方程沒有讓人們意識到虛數？

初中數學課上，我們把一元二次方程的解分為三種情況：有兩個不同的解、有兩個相同的解、無解。

具體來說，我們推導出了求根公式：

$x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

求根公式中根號的存在正是出現『無解』情況的原因：當 $b^2-4ac<0$ 時，根號下是負數，（在實數域內）無法計算，所以方程無解。

十六世紀的人們也是這麼想的。對於 $x^2+1=0$ 這樣的方程， $x=sqrt{-1}$ 在當時的人們眼中就是方程無解的標識，因為對負數開根號沒有數學意義。

那三次方程是什麼情況呢？

十六世紀義大利數學家Tartaglia給出了形如 $x^3=px+q$ 的三次方程的公式（然而人們卻稱之為Cardano公式，他倆也因此結怨）：

$x=sqrt[3]{frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2-(frac{p}{3})^3} } +sqrt[3]{frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2-(frac{p}{3})^3} }$

（推導過程以及一般形式的解見Wikipedia：三次方程）

於是，方程 $x^3=15x+4$ 的解就是：

$x=sqrt[3]{2+sqrt{2^2-5^3} } +sqrt[3]{2-sqrt{2^2-5^3} } =sqrt[3]{2+11i}+ sqrt[3]{2-11i}$

按照之前的想法， $i=sqrt{-1}$ 根本沒有意義，所以意味著方程無解。可是……

可是 $x=4$ 就滿足這個方程呀！那 $sqrt[3]{2+11i}+ sqrt[3]{2-11i}$ 又是什麼情況？

1572年，義大利數學家Bombelli做了一個嘗試——如果把 $i$ 當作一個平方是 $-1$ 的數來計算，我們就有：

$(2+i)^3=2+11i,~(2-i)^3=2-11i$

於是， $sqrt[3]{2+11i}+ sqrt[3]{2-11i}=(2+i)+(2-i)=4$ .

問題解決啦！

不過話說回來， $i$ 參與運算之後這個問題得到了解決，所以我們再不認真對待它真是說不過去了。

然而複數直到十九世紀才被嚴格定義，這歸功於愛爾蘭數學家Hamilton。

Hamilton把複數定義為有序實數對 $z=(a,b)in mathbb{R}^2$ ，並把複數的加法與乘法定義為：

$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$

$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2)$

如此定義的動機就是之前我們把複數 $(a,b)$ 寫成 $a+ib$ 時的計算。

定義了複數之後，Hamilton就把目光轉向了 $mathbb{R}^n$ ，試圖把複數繼續推廣到高維空間當中。

於是，Hamilton開始試圖構造『三元數』。十三年之後，他承認了自己的失敗。

為了挽救自己這麼多年的努力，他開始嘗試『四元數』。1843年10月16日，他成功了。（關於四元數的介紹請看：為什麼實際旋轉角度是四元數裡面的角度的兩倍?有什麼數學上的原因嗎? - 匡世珉的回答）

同年12月，Hamilton的好朋友Graves構造出了八元數。當然，這些就是另外的故事了。

那麼就這樣=w=

在16世紀之前，人們都沒把負數當成「正常」的數，卡爾達諾的一元三次方程原始論文里，把一元三次方程分成了13種，每種各給出了一個求根公式， $x^3+px=q$ 和 $x^3+q=px , (p,q>0)$ 在當時的人看來是完全不同的方程，要用完全不同的求根公式。

對負數尚且如此，對負數開根號就更被視為是不可能的事情， $Delta <0$ 的一元二次方程被直接認為是無解的。而一元三次方程的卡爾達諾公式里，會出現負數開根號，再和實數加減運算再開三次方，組合卻得到實根，這使得人們不得不正視「對負數開根號」這樣一種運算，從而開始了對複數的最初認識。

簡單地說，一元二次方程不可能同時出現一個實數根和一個虛數根，人們就忽略了虛數的意義

我只是來扯蛋的。

簡而言之，就是光看二次方程你發現不了複數的「用處」，因為你無非只是算出一個完全不知道什麼鬼的玩意。你要發現一個概念「有用」，這個概念才有意義，可以拿來研究更先進的內容。

數學概念也是講「用處」的，雖然不是大眾想的什麼造火箭炒股票什麼的。

複數其實可以用來解一元任意次方程。在代數學發展史上，複數概念出現在解三次以及解更高次方程後不久，這就是一般數學教科書給人留有層次感的錯覺，總是將複數和三次方程的解法說明放在同一個章節。數學史本來沒有這麼死板和單調。

因為初等數學一般不求復根……

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