矢量分析中三角不等式和 Schwarz 不等式哪個更強一些？

01-29

問這個問題是因為格里菲斯的課後習題在證明三角不等式的時候用到了Schwarz不等式

哪個更強不好說，因為只要是在內積空間裡面兩個都對，不是內積空間的話Schwarz不等式也沒有意義。但是重點是三角不等式本身不是一件顯然的事情。L^1的三角不等式就是絕對值不等式，L^infity也是顯然的，但是L^p的三角不等式的證明就不是一兩句話能說清楚的。這個叫做Minkowski 不等式，你看都有名字對吧。wiki上給的證明是用到了Holder不等式(Minkowski inequality)，p=2時Holder不等式也就是Schwarz不等式了；另外一個常見的證明是利用凸集的Minkowski 泛函，也不是容易的。

在實內積空間里這兩個不等式是等效的，顯然

$|a| + |b| ge |a+b| Leftrightarrow a^2 + b^2 + 2|a||b| ge a^2 + b^2 + 2acdot b Leftrightarrow |a||b| ge acdot b$

如果是複數空間，可以把 $2 a cdot b$ 換成 $+ <b,a>$ ，這時就只能從柯西·施瓦茲推三角形不等式了。

一般來說，就是從柯西施瓦茨不等式來推三角形不等式的。。

而推柯西施瓦茨不等式，只需要內積是正定的就行了。。

Cauchy-Schwarz inequality

The triangle inequality for the standard norm is often shown as a consequence of the Cauchy–Schwarz inequality