學習張量代數最好的辦法是去學廣義相對論嗎？

01-29

聽科大的同學說他們的張量代數課很水。
感覺廣義相對論的張量表示是最嚴謹的，分協變張量和逆變張量，只有協變張量和逆變張量才能摺疊。

其實張量在數學中的嚴格定義是線性空間和它的對偶空間上的多重線性函數。這個定義可以直接導出張量分量在坐標變換下的變換關係。它的優越性體現在從整體上定義了張量，而不是糾結於它的分量形式，因為作為一個量，張量本來就不應該依賴於坐標系的選擇。就像我們在開始接觸(三維)矢量的時候把它想像成空間中的箭頭，而不是某個坐標系下的某三個按一定規律變換的數字，因為箭頭這個東西的客觀存在顯然是不依賴於坐標系的選取的。接受張量的這個定義，更有利於理解其在坐標變換下不變性，也就是說脫離了坐標系我們依然可以討論張量。在這方面可以參考Nadir Jeevanjee寫的An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists.

如果想進一步研究張量背後的數學意義，那不可避免地要學習微分流形，以了解一些切空間，餘切空間，微分形式的知識。畢竟現代數學中的張量場就是定義在流形上的。這方面我沒有閱讀過專門的數學書，僅僅在學習理論力學的時候看過一點Antonio Fasano和Stefano Marmi的Analytical Mechanics: An Introduction的附錄部分。可以參考我看過的這本書或者任何一本微分流形教材。

如果對於張量的數學定義完全不感興趣，僅僅滿足於熟練地進行張量分量運算的話，那學習廣義相對論應該是一個不錯的選擇。首先廣義相對論是我目前所知的物理學中少有的會大量涉及到二階以上張量的領域，而且它涉及到了很多黎曼幾何里的重要概念，如度規張量，協變導數，克里斯托弗符號，黎曼曲率張量等。雖然不可能像專門的黎曼幾何課那樣嚴格(那必然涉及到流形)，它也足以提供一個直觀的感受，並且讓人體會到張量的威力。廣義相對論還會涉及到大量繁瑣複雜的張量分量運算，比如各種指標求和，縮並，等等。這對熟悉張量運算是很有好處的。這方面我推薦Bernard Schutz的A First Course to General Relativity作為入門教材。

我是通過學習廣義相對論熟悉張量代數的，參考書系《相對論導引》，中未涉及到微分幾何，只用到了張量分析。的確感覺不錯，比電動力學中的嚴謹。（南大沒有專門的張量代數課程）

我還有一個室友通過彈性力學學張量，也不錯。

你說反了。。學好廣義相對論的前提是學好張量代數╮(╯▽╰)╭

我覺得最好是學正方體任意截面的應力例子相對簡單更能把關注的點放在張量上