二次量子化的第一次和第二次分別具體指哪個步驟？

01-29

第一次量子化就是量子化了狀態，我們可以將某個狀態用一組狀態的基底來展開，係數的模方（感謝糾正）表徵落到那個基態的幾率。我們最喜歡能量，所以通常會展開在能量本徵態上。本徵態是線性代數的事情。不過這不重要。

二次量子化是為了解決另一件事情。我們用控制粒子產生湮滅的場代替了粒子的軌跡方程，應用在了路徑積分上。

也沒什麼人看，就這樣吧。

一次量子化：一種經典力學與量子力學之間的對應關係。即：給力學量加帽子「變成」算符。

二次量子化：量子力學中一種處理多體問題的方法。其結果可以比粗淺的理解為給波函數加帽子變成場算符。雖然都是加帽子(雖然操作上看起來很相似)，但一個是經典與量子的對應。另一個可以看做處理多體問題的方法(或者也可以把單體問題看成這裡的特例)。

ps：個人感覺，一般量子力學中提到的量子化只是一種對應關係，即把經典力學泊松代數和量子力學非對易C*代數的中某些元素(物理量)一一對應起來，即一個不戴帽子的對應一個戴帽子的。

而star product在h→0是還原為函數乘法，這才是真正的量子與經典之間的「變化」。

另外，我們也可以從經典力學的基礎上「獲得」量子力學，為此，需要利用恰當辛結構在相空間上定義Hermitian line bundle以及bundle上的connection。由此，利用叢的截面獲得Hilbert space L^2；利用connection獲得L^2上的運算元。這樣來得到了L^2上的量子力學。

一次量子化是物理量的量子化，即就是物理量用算符表示

二次量子化是對波函數的量子化，用在處理粒子數不守恆的系統。比如相對論性量子物理，還有聲子聲子耦合、聲子電子耦合等物理問題。

只是歷史術語而已，二次量子化是把薛定諤方程（或者KG方程或者狄拉克方程）當成場來進行場量子化，由於薛定諤方程等方程在量子力學的意義上被解釋為量子方程（相當於已經是「量子化後的」東西），所以這裡的量子化被稱為二次量子化。

實際上從量子場論的角度看來，場算符才是基本的量，自然界存在的只有場量子化。在非相對論量子力學中所使用的「波函數」，只不過是場算符在態矢下的矩陣元而已。二次量子化是歷史遺留物，現在已經很少使用。

說法上的問題，拿狄拉克方程舉例：

$left( i gamma ^{mu} partial _{mu}-m_{0} ight)psi =0$

狄拉克進行形式開方得到此方程之後將其認為是波函數所滿足的方程，因為是洛侖茲不變的，所以滿足狹義相對論，史稱相對論性量子力學。是單粒子的方程

後來認為這個方程不再是波函數的方程而是旋量場的方程，原來的波函數 $psi$ 現在理解為場算符，與之前不同，它具有無窮個自由度，這本來是個經典的東西，我們用正則或者路徑積分量子化之後過度到量子形式。這樣，相對論性量子力學過渡到了量子場論，史稱，二次量子化。

只是一個歷史上的說法而已，這裡也只是將經典的場算符進行量子化，而沒有什麼第二次量子化。

ps: 而且我覺得也沒有大的突破，旋量場如果用通常的對易關係 $left[ a_{p}^{(s)} , a_{k}^{(r)} ight] =(2pi )^{3}delta ^{rs} delta ^{3}(p-k)$

仍然有負能得困難，只有改為反對易，也就是重新定義狄拉克海為真空才可以沒有矛盾的進行量子化。和狄拉克的Picture如出一轍，感覺就是換了種說法。

簡單來說，一次量子化是量子力學，二次量子化是統計力學。

一次量子化關注單體運動，我們重點計算波函數，計算一個粒子出現在哪裡的概率等等。

二次量子化則關注多體系統，我們重點計算體系的狀態，採用粒子在不同態的佔據數來表示系統，計算系統處於不同粒子佔據態的概率。

有很多人在比較數學表達式的不同。

但實際上，兩種不同的量子化，只是因為我們在處理不同的系統。

不是說把一次量子化的波函數作為場算符就變成二次量子化了。

就像那個匿名用戶說的那樣，We dont quantize any theory twice. Theres basically no second quantization.

兩種本質上不同的系統（少體和多體系統）適合不同的描述方式（波函數，佔據數），僅此而已。

這個中文翻譯過來的名字本身就不好，其實更適合叫做「第一類量子化」和「第二類量子化」。

簡單來說

一次量子化就是引入對易關係將經典力學裡的物理量變成算符

二次量子化在非相對論量子場論里就是粒子數表象，表面上看起來是將原來的波函數變成場算符

從比較公理化的角度出發，（一次）量子化是引入了（單粒子的）希爾伯特空間，把物理上的態和物理量都用一種全新的方式猜出來，是高度非平凡的。相比之下，二次量子化只是把單粒子態並起來建立了Fock空間，並且讓物理量的算符有了粒子數不守恆的選擇餘地，二次量子化是（一次）量子化的一個很平凡的推廣，如果要玩味其中的物理意義的話，肯定還是得在（一次）量子化上下功夫

從最簡單的角度說，一次量子化，是把坐標X、動量P這些在經典物理中有明確物理含義的量給當成算符處理了，於是有了對易關係[X,P]。

而二次量子化，就是指不僅僅把動量P、坐標X這些物理量當作算符，還要把一次量子化中的波函數ψ和它的共軛當成算符來處理，它們的意義是坐標空間的湮滅和產生算符，此外還產生了新的對易關係，公式不好打，只能作罷。

把經典力學(Hamiltonian正則方程)描述轉變為Schrodinger方程描述的過程，可稱為第一次量子化，它的特徵有：一，研究對象上，點粒子圖像變成波函數圖像了(注意wave particle duality)；二，經典的Poisson括弧變成了對易子關係。

把經典場論(Lagrangian)轉變成量子場論的描述過程，可稱為第二次量子化，由於研究對象是場，因此又叫做場量子化。

它的特徵如下：一，經典意義下的場是大粒子數條件下的連續分布，量子意義下的場是無窮多自由度的場粒子所構成的激發。二，經典場論下的Poisson括弧變成場運算元的對易子(產生湮滅運算元的對易子)。三，經典場論無所謂費米子場或波色子場，量子場論需要區分費米子和波色子場。四，經典場論中的真空，即場為零不存在的狀態，即empty，什麼都沒有的狀態。但量子場論中的真空，是所有負能解狀態被填滿的狀態(Dirac海)，是一種平衡態，是可以從量子真空中激發出粒子來的，因此量子真空不空。

這些關於經典和量子的特徵的簡單匯總，希望能幫助你理解量子化手續。第一次和第二次量子化，只是歷史前後，並不是真的需要做連續做兩次量子化。簡單點說，第一次量子化是粒子的量子化，第二次量子化是場的量子化。研究對象不同而已，當然怎麼樣從粒子轉變場這是另一個話題了，暫不展開了。

We dont quantize any theory twice. Theres basically no second quantization.

以電子為例，對電子路徑積分得到薛定諤方程，薛定諤方程是Dirac方程的非相對論近似，把Dirac方程視為場方程（而不是量子演化方程），對場作路徑積分，得到量子場論。一次路徑積分就是一次量子化。

當然你也可以從正則量子化來說，第一次正則量子化是xp的對易關係，第二次是產生湮滅算符的對易關係。

二次量子化是個極為嚴重的misnomer

as Weinberg put it

這個問題不同人有不同的理解，其實只是約定的不同。我個人的理解是：

量子化，在場論里又叫做場量子化，極少數情況下又被稱為一次量子化，是指自洽的量子化一個動力學系統的過程。比如按照正則量子化，就是挑出廣義坐標和廣義動量，然後施加正則對易關係。

二次量子化是求解場表示（場作為一個幺正表示），構造正確的哈密頓量的過程。得到的解又叫做粒子數表象。

雖然場量子化本身是一個完備自洽的過程，對於動力學體系來說—根據量子力學—哈密頓量才是正確的出發點。因此二次量子化是檢驗場論物理化的重要一步。

當然，場表示有無窮多等價的表示—時間演化—找到其中一個表示即可，如果量子化是正確且體系自洽的話。

第一次： ${psi_i(xi )}$ ，

第二次：

$Psi(xi)=sum_ipsi_i(xi),a,, Psi^dagger(xi)=sum_ipsi^ast _i(xi),a^dagger$ 。

一次量子化是測量的量子化，二次量子化是對被測量的場的量子化

事實上並沒有什麼東西被量子化了兩次，只不過是兩個東西在歷史上的量子化的時間順序有先後。所謂第一次相當於把經典的物理量提升成為算符，所謂第二次是把量子力學裡波函數也看成算符，就出現了場的概念。

Second quantization is a formalism used to describe and analyze quantum many-body systems. It is also known as canonical quantization in quantum field theory, in which the fields (typically as the wave functions of matter) are thought of as field operators, in a manner similar to how the physical quantities (position, momentum, etc.) are thought of as operators in first quantization. The key ideas of this method were introduced in 1927 by Dirac, and were developed, most notably, by Fock and Jordan later.

一次量子化不說了。二次量子化是為了解決單粒子理論無法解釋的因果性問題。