It?擴散過程與PDE解的概率表示

01-29

概率基礎：以測度為基礎的概率基本概念與結論

隨機積分基礎：本專欄的《泛函觀點下的隨機積分》系列

先提一個布朗運動的簡單性質：令 $B = (B^1, B^2, ldots, B^d)$ 為 $d$ 維布朗運動，可以得出 $langle B^i, B^jrangle_t = delta_{ij}t$ 。那麼，對於 $f in C^2(mathbb{R}^d)$ , 根據It?公式，可得

$f(B_t) = f(B_0) + sum_{i=1}^dint_0^t frac{partial f}{partial x^i} (B_s),dB^i_s + frac{1}{2}int_0^t Delta f(B_s),ds$

可見對bracket過程積分的部分變成了熟悉的Lebesgue積分，甚至還出現了常見的Laplacian，是不是有種「好像在暗示著什麼」的感覺？布朗運動與Laplacian確實有千絲萬縷的聯繫，而反過來說，可以通過It?公式證明滿足 $langle M^i, M^jrangle_t = delta_{ij}t$ 的局部鞅 $M$ 必定為一個布朗運動。上述幾個結論在以後可能會講到的鞅表示與鞅問題里非常重要。

我們還需要擴展一下It?公式。對於 $d$ 維半鞅向量 $X$ , $f in C^{1,2}([0, infty) times mathbb{R}^d)$ , 有

$begin{split} f(t, X_t) &= f(0,X_0) + int_0^t frac{partial f}{partial t } (s, X_s),ds + sum_{i=1}^d int_0^t frac{partial f}{partial x^i } (s, X_s),dX_s^i &+ frac{1}{2}sum_{i,j=1}^d int_0^t frac{partial^2 f}{partial x^i partial x^j}(s, X_s),dlangle X^i, X^j rangle_s end{split}$

1. SDE與It?擴散過程

在定義隨機積分之前，我們提到了一個主要目的是為了定義如下問題

$begin{cases} dX_t =mu(X_t),dt + sigma(X_t),dB_t X_0 = x in mathbb{R}^d end{cases}$

也就是隨機微分方程(SDE)。但我們也知道大部分隨機過程的樣本路徑都十分粗糙，不存在傳統意義上的可微性質 (布朗運動的樣本路徑幾乎處處不可導的概率為1)，所以用微分的觀點去定義SDE顯然是不可行的。而唯一可行的觀點是積分：若隨機過程 $X$ 滿足

$X_t = x + int_0^t mu(X_s),ds + int_0^t sigma(X_s),dB_s$

把 $X$ 稱為上述SDE的解。所以，隨機積分方程才是更恰當的名稱。在隨機分析里，所有的寫成微分形式的式子真正意義都是在積分上的。

SDE是一個大坑，有大把可研究的東西：解的存在性與唯一性，在不同概率空間上的解，對不同布朗運動的解，等等。前面寫出來的SDE也只是一類比較特殊的SDE，而我們把滿足這一類SDE的過程 $X$ 稱為It?擴散過程。

值得一提的是，和ODE的情況一樣，當我們遇到一個(簡單的)SDE，第一個想法就是寫出解析解。而解任何(簡單)方程都能用的辦法只有一個：猜解。多虧了It?公式，我們才有辦法猜了之後驗證對錯。大家可嘗試一下用猜的方法解如下1維線性SDE，

$begin{cases} dX_t =mu X_t ,dt + sigma X_t,dB_t X_0 = 1 end{cases}$

這裡 $mu, sigma$ 為常數。這個SDE的解名叫幾何布朗運動。

2. PDE解的概率表示

雖然概率與分析的思維不太相同，但不要忘記概率是建立在測度論之上的，本質上用的是分析的東西。但反過來說，我們也可以把概率的結果與思維方式運用到分析的問題上。以下是一個簡單的例子。

考慮前面 $mu = 0, sigma = I$ 的It?擴散過程，也就說 $X_t^x = x + B_t$ 為解 (上標用來表示 $X^x_0 = x$ )。令 $D subseteq mathbb{R}^d$ 為性質好的有界開集(例如圓環), $f in C(bar{D})$ , 考慮如下Dirichlet問題，也是熱方程的一種

$begin{cases} frac{partial u}{partial t} - frac{1}{2}Delta u = 0, & (t, x) in (0, infty) times D u(0, x) = f(x), &x in D u(t, x) = 0, & (t, x) in [0, infty) times partial D end{cases}$

假設解 $u in C^{1,2}([0,infty) times D) cap C([0, infty) times bar{D})$ 的存在性，大部分時候 $u$ 都沒有解析解，即便有也很大可能是非常複雜的形式。不過，幸運的是，只要 $u$ 存在，我們可以通過運用It?公式得到非常簡潔的概率形式

Claim. 若 $u$ 為上述Dirichlet問題的解。對於 $x in mathbb{R}^d$ , 定義停時 $tau_x = inf{t ge 0 : X^x_t notin D }$ ，則 $u(t, x) = mathbb{E}[f(X^x_t); tau_x > t]$ 。

我們來驗證一下：

1. 對於 $(t, x) in [0, infty) times partial D$ ，顯然 $tau_x = 0$ ， $mathbb{P}(tau_x > t) = 0$ ，所以

$u(t, x) = 0 = mathbb{E}[f(X^x_t) ; tau_x > t]$

2. 對於 $t = 0, xin D$ ，則 $mathbb{P}(tau_x > 0) = 1$ ，那麼

$u(0, x) = f(x) = mathbb{E}[f(X^x_0)] = mathbb{E}[f(X^x_0); tau_x > 0 ]$

3. 對於 $(t, x) in (0, infty) times D$ ，在 $0 le s le t < tau_x$ 的情況下, 根據It?公式以及PDE的條件

$begin{split} & quad u(t - s, X_s^x) &= u(t, x) + sum_{i=1}^d int_0^s frac{partial u}{partial x^i}(t - theta, X_theta^x ), dB^i_theta & quad - int_0^s frac{partial u}{partial t}(t - theta, X_theta^x ), dtheta+ frac{1}{2}int_0^s Delta u(t-theta, X^x_theta), dtheta &= u(t, x) + sum_{i=1}^d int_0^s frac{partial u}{partial x^i}(t - theta, X_theta^x ), dB^i_theta end{split}$

也就是說 $Y_s := u(t-s, X^x_s)$ 為一個局部鞅 (對局部鞅的隨機積分)，根據 $u$ 的正則性與 $D$ 的有界性，可以得出被積函數有界，那麼 $Y$ 為鞅。根據鞅性質與PDE的條件，

$begin{split} & u(t, x) = Y_0 = mathbb{E}[Y_t; tau_x > t] &= mathbb{E}[u(0, X^x_t); tau_x > t] = mathbb{E}[f(X_t^x); tau_x > t] end{split}$

驗證完畢。

概率形式最大的好處就是方便進行用Monte Carlo進行數值模擬。只要能夠模擬布朗運動，想要得到 $u(t, x)$ 的值只要從 $x$ 開始跑一個布朗運動直到時間 $t$ ，如果沒有離開 $D$ 就輸進 $f$ 記錄下來，重複多次，取平均值，靠強大數定理髮力就行了。

這裡作為例子PDE還算比較簡單，但這個思想可以用到更一般的PDE上去。首先要對It?擴散過程 $X$ 里 $mu, sigma$ 作更嚴謹的說明：考慮多維的情況, $X$ 在 $mathbb{R}^d$ 取值, $B$ 為 $n$ 維布朗運動，那麼 $mu: mathbb{R}^d to mathbb{R}^d, sigma: mathbb{R}^d to mathbb{R}^{d times n}$ 才能使維數對上。令 $alpha = sigma cdot sigma^top$ ，定義SDE的生成元 $mathcal{A}$ 為

$(mathcal{A}f)(x) = sum_{i=1}^d mu^i(x)frac{partial f}{partial x^i} + frac{1}{2}sum_{i,j = 1}^d alpha^{ij}(x)frac{partial^2 f}{partial x^i partial x^j}$

可見 $mathcal{A}$ 為一個二階偏微分運算元。然後可以考慮把Laplacian用 $mathcal{A}$ 去代替得到更一般的一類PDE，得到解的概率表示的步驟是基本一樣的，因為對 $X$ 運用It?公式必定會得出 $mathcal{A}$ , 就像前面得到Laplacian一樣。甚至還能進一步擴展可行的PDE，只要想辦法用It?公式湊出來就行了。用這種方法得到的結果還包括著名的Feynman-Kac公式。當然，這裡提到的SDE生成元又是隨機分析的又一個大坑了。

有人或許會問，前面概率表示的前提是解的存在性，那麼有沒有用概率去證明解的存在性呢？答案是肯定的，只不過據說用概率方法去證明存在性不如經典的分析方法來得有效率......

最後提一下，前面說到可以在分析上用概率的做法，但反過來也是可行的。即便是剛剛給出的簡單熱方程也可以通過算出Laplacian的運算元譜，取正確的 $f$ 反過來對布朗運動作漸進分析。另外一種想法則是，把一個關於隨機過程的量，例如在時間點 $T$ 某個量的期望值 $mathbb{E}[g(X_T^x)]$ ，轉化為一個分析問題，例如一個ODE/PDE。這也是我那一篇迷之高贊回答 (Langxuan Su：有哪些時候你會覺得數學很有用？) 背後的想法。 (是不是大家關注專欄的原因都是等著講這個？)