p-進世界的入口

01-29

當考察一直以「數即實數」的漫長的數學史時，對於不久前，方才感覺到被稱作 $p$ -進數的數世界存在的我們來說，好似處於只見過白晝天空的人在凝望夜空時的驚訝狀態. 在那裡有著與白晝完全不同的數學景色. 在這個夜空中，發射出的「素數 $p$ 的威力」的 $mathbb{Q}_{p}$ ，如果將實數域 $mathbb{R}$ 比作太陽的話，它們就像是在陽光下隱藏不見的那些夜空中的星辰，有著對應於各種素數 $p$ 的 $mathbb{Q}_{p}$ 那樣無數的星星，像各種各樣的星辰可與太陽媲美那樣，各種 $mathbb{Q}_{p}$ 也可與 $mathbb{R}$ 媲美. 在夜空中可一眼望盡遠方，而通過 $p$ -進數世界，我們開始看見非常深遠的數學景色了！ —— 《數論 I—Fermat的夢想和類域論》

一： p-進數

設 $p$ 為一個素數. 任意給你一個有理數 $ain mathbb{Q}(aneq 0)$ ，你都可以把它寫成

$a=p^{m}dfrac{u}{v}~(min mathbb{Z},~u,v~text{為不被}~p~text{除盡的整數})$

的形式，定義 $a$ 的 $p$ -進賦值 為： $ord_{p}(a):=m$ ， $p$ -進絕對值為 $|a|_{p}:=p^{-ord_{p}(a)}$ .

它們分別是有理數域 $mathbb{Q}$ 上的非阿基米德賦值、絕對值. 我不想在這裡贅述它們的嚴格定義. 我只想說這麼一件事：

（Ostrowski）有理數域上的絕對值（在等價意義下，等價是指定義了相同的拓撲）只有兩大類：一類是阿基米德絕對值，即通常絕對值，一類是非阿基米德絕對值，即上述 $p$ -進絕對值.

有理數域關於通常絕對值作完備化就是實數域，這是通常數學分析課本做的事情；而有理數域關於 $p$ -進絕對值作完備化得到的數域就是我們故事的主角—— $p$ -進數域. 它一般來說有如下三種看法：

$p$ -進數域是有理數域關於 $p$ -進絕對值作完備化得到的數域. 它的一個元素是一個柯西列的等價類：一個柯西列是指一個有理數列 $(x_{n})$ ，它滿足：對任意的 $varepsilon>0$ ，存在正整數 $N$ 使得任意的 $m,ngeq N$ 有 $|x_{m}-x_{n}|_{p}<varepsilon$ ；稱兩個柯西列 $(x_{n}),(y_{n})$ 是等價的，若 $|x_{n}-y_{n}|_{p}to 0,nto infty$ . 這些柯西列的等價類關於自然的加法和乘法運算成為一個域，叫做 $p$ -進數域. 有理數域到 $p$ -進數域有一個自然的嵌入 $mathbb{Q}hookrightarrowmathbb{Q}_{p},~amapsto (a,a,a,cdots)$ ;有理數域上的 $p$ -進絕對值可以自然延拓到 $p$ -進數域上去：設 $(x_{n})in mathbb{Q}_{p},|(x_{n})|_{p}:=lim_{nto infty}|x_{n}|_{p}$ ，可以證明這是良定義的，且它為一個常數.
$p$ -進數域是整環 $varprojlim_{n} mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}$ 的商域，這裡我們考慮逆向系是指 $cdots to mathbb{Z}/p^{3}mathbb{Z}to mathbb{Z}/p^{2}mathbb{Z}to mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ （箭頭簡記為 $f$ ）， 具體來說 $varprojlim_{n} mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}={(a_{n})in prod_{ngeq 1}mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}~|~f(a_{n+1})=a_{n}}$ .
$p$ -進數域是 $mathbb{Q}_{p}:=leftlbrace sum_{n=m}^{infty}c_{n}p^{n}~|~c_{n}in {0,1,cdots,p-1} rightrbrace$ （所謂 $p$ -進展開）.

上述三種定義是等價的，證明如下：

$1$ 和 $2$ 的等價性：定義 $mathbb{Q}_{p}$ 的 $p$ -進整數環為 $mathbb{Z}_{p}={ain mathbb{Q}_{p}~|~|a|_{p}leq 1}$ （這裡 $mathbb{Q}_{p}$ 是指 $1$ 中的定義）。我們有環的同構： $varprojlim mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}to mathbb{Z}_{p}$ ，對 $(a_{n})in varprojlim_{n} mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}$ ，對每個 $ngeq1$ ,取整數 $x_{n}$ 使得 $x_{n}$ 在 $mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}$ 的像為 $a_{n}$ ,於是我們得到一個整數序列 $(x_{n})$ ,由於當 $m,ngeq N$ ， $|x_{m}-x_{n}|_{p}leq frac{1}{p^{N}}$ ，故 $|(x_{n}) |_{p}leq 1$ ; 反之，對 $a=(a_{n})in mathbb{Z}_{p}$ （事實上可假設 $a_{n}$ 都是整數）， $(a_{n})$ 在環同態 $mathbb{Z}to mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}$ 下的剩餘類序列 $( overline{a_{n}})$ 會收斂於一個常數 $sigma_{n}(a)$ （因為 $|(a_{n})|_{p}leq 1$ ）, 我們定義 $mathbb{Z}_{p}to varprojlim mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z},~a=(a_{n})mapsto (sigma_{n}(a))$ . 可以證明上述定義的兩個映射是互逆的。
$1$ 和 $3$ 的等價性：一方面，設 $sum_{n=m}^{infty}c_{n}p^{n}$ 是 $3$ 的元素，它對應的柯西列是 $(c_{m}p^{m},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1}+c_{m+2}p^{m+2},cdots )$ 另一方面，可以證明 $1$ 中元總是可以唯一寫成 $3$ 中的形式.

上面定義 $3$ 告訴我們可以這樣看待 $p$ -進數：和每個實數都可以寫成一個小數的形式一樣，每個 $p$ -進數也可以寫成小數的形式：

$sum_{n=m}^{infty}c_{n}p^{n}text{寫成小數}c_{m},c_{m+1},cdots,c_{-1},c_{0},c_{1},cdots$

舉個栗子，取 $p=7$ , $3+6times 7+2times 7^{2}+cdots$ 的小數表示就是 $3.62cdots$ （其實這個小數點點在哪裡你愛怎麼寫就怎麼寫，只是一個標記而已）然後四則運算加減乘除跟實數小數的操作方法是類似的，例如兩個小數相加，就是逐位相加，超過 $p$ 向右進位.