令人討厭的是數學課，不是數學----《一個數學家的嘆息》

機緣巧合，看到了一本書，深受觸動。

書中所說的理念正是馬同學一直想去、要去、希望能夠做到的，借用書中的話：

數學是理性的音樂。做數學是從事發現與猜測、直覺與靈感的活動；是進入疑惑的狀態——不是因為它讓你搞不懂，而是因為你給了它意義，而你還不知道你的創造會走向何處；是產生一個突破性的想法；是像藝術家一般遭遇挫折；是被幾近痛苦的美麗所折服與讚歎；是感覺活著。把這些從數學裡拿掉，無論你開多少（數學教育）研討會，（如何改進數學教育方法）都不重要。醫生，隨便你動多少手術，反正你的病人已經死了。

數學是一門藝術！至於它和音樂繪畫的差別，只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。 沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣激進、具破壞力和帶有奇幻色彩。數學比詩、美術、或音樂容許更多的表達自由。

你不需要讓數學有趣----它本來就遠超過你了解的有趣！而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣！（馬同學：想想遊戲，我們喜歡《魔獸世界》、《吃雞》，難道是因為它們和生活有關係？）

我們有了一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課綱，支離破碎地收集了分類的主題和技巧，依解題程序的難易程度湊合在一起。

----《一個數學家的嘆息》

雖然沒有給我們廣告費，但是仍然想給大家安利下這本書：

《A mathematicians lament》，中文譯名：《一個數學家的嘆息》，是Paul Lockhart的作品。

Paul Lockhart（保羅·拉克哈特，以下簡稱 L ）博士，曾經在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。公元2000年 L 突然決定離職，自我「下放」到中小學去當老師。L 去的這間學校是紐約市布魯克林區的 Saint Ann』s school，該校的學生從幼兒園到高三都有，L 在這裡什麼年級都教。

促成 L 下放的原因, 照 L 自己的說法是因為：

• L 發現數學教育在基礎教育階段存在非常嚴重的問題。
• L 不再想教大學生, 因為從中學上來, 這些學生的數學已經毀了, 他們再也不能欣賞數學的真與美。

2002年 L 寫就了本書的初稿，總共25頁，從那時起，它就在數學教育的小圈子裡秘密流傳，但是從未正式發表過。後經齊斯·德福林（Keith Devlin），斯坦福大學教授推薦後，引來的是燎原大火。 L 的文字在全世界激起了極大的共鳴。

下面是開頭的一部分譯文，由高翠霜翻譯，馬同學配圖。

1 悲歌

1.1 噩夢

一個音樂家滿身大汗地從噩夢中驚醒。夢中，他發現自己置身於一個奇特的社會，那裡的音樂教育是強迫性的。「我們是要幫助學生，讓他們在這個愈來愈多聲音的世界上，變得更有競爭力。」

教育學家、學校體系以及政府，一起主導這個重要計劃。研究計劃的進行、委員會的組成、決策的形成——這些都沒有聽取任何一位現職音樂家或作曲家的意見，也沒讓他們參與。

由於音樂家通常把他們的構思，以樂譜的形式呈現出來，想當然爾，那些奇怪的黑色豆芽菜和線條就是「音樂的語言」。所以，要讓學生們擁有某種程度的音樂能力，當然他們得要相當精通這種語言；如果一個小孩對於音符和音樂理論沒有紮實的基本功，要他唱歌或演奏樂器，將是很可笑的事。演奏或是聆聽音樂(更不要說創作樂曲)，被認為是相當高深的課題，通常要等到大學或甚至研究所，才會教他們這些。

而在小學和中學階段，學校的任務就是訓練學生使用這個語言——根據一套固定的規則繞著符號打轉:「音樂課就是我們拿出五線譜紙，老師在黑板上寫下一些音符，然後我們抄寫下來，或是轉換成其他調。我們必須確定譜號和調號的正確性，而我們的老師對 於四分音符是否塗滿，要求非常嚴格。有一次我在半音階的測驗題中答對了，老師卻沒給我分數，說我把音符的符干擺錯了方向」。

以教育工作者的智慧，他們很快就發現，即使很小的孩子，也可以給予這類的音樂指導。事實上，如果一個三年級的小孩無法完全記住五度循環，就會被認為是很羞愧的事。「我得給我的小孩請個音樂教師了，他就是沒法專心做他的音樂作業。他說那很無趣。他就是坐在那裡望著窗外，自己哼著曲調，編一些愚蠢的曲子。」

較高年級的學生，壓力就真的來了。畢竟，他們必須為標準化的測驗和大學入學考試做準備。學生必須修習音階和調式、拍子、和聲、對位等課程。「他們得學習一大堆東西，但是等到大學他們終於聽到這些東西，他們將會很感激在高中所做的這些努力。」

當然，後來真的主修音樂的學生並不多，所以只有少數人得以聆聽到黑色豆芽菜所代表的聲音。然而，讓社會上每個人都知道什麼是轉調、什麼是賦格是很重要的，無論他們有沒有親耳聽過。「告訴你實話吧，大部分的學生就是不擅長音樂。他們覺得上課很無聊，他們的技能不佳，他們的作業寫的亂七八糟，難以辨認。而且大多數的學生，都不關心在現今世界上，音樂是多麼的重要；他們希望音樂課愈少愈好，而且能趕快上完。我猜人就只有兩種：音樂人和非音樂人。我碰到過一個小孩，她真是太優秀了!她的作業無懈可擊——每個音符都在正確的位置上，完美極了，既清楚又一致，真是美麗呀。她將來一定會成為偉大的音樂家。」

這位音樂家一身冷汗地從夢中醒來，慶幸那只是一場瘋狂的夢境。他對自己說:「當然，沒有哪個社會會將這麼美妙又有意義的藝術形式，分解到這麼不需動腦又支離破碎；也沒有哪個文化會這麼殘酷地剝奪孩子們這種展現人類情感的自然手段。這真是荒謬 呀!」

與此同時，這個城市的另一端，一位畫家也從類似的夢魘中驚醒過來......我很驚訝的發現自己置身在一個普通的教室里——沒有畫架，沒有顏料管。「喔!我們要到高中才真正開始作畫。」學生們告訴我。「在七年級，我們大部分都是學習顏色和畫圖器具。」他們拿給我一張工作表。其中一面是一格一格的顏色樣本，每種顏色旁邊都有空格，要他們填上顏色的名稱。其中一位學生說道，「我喜歡畫畫，他們告訴我怎麼做，我就照著做，很簡單的!」

下課後，我和老師談了一下，我問道:「這樣看來，你的學生沒有真正的動手畫畫啰?」老師回答我，「嗯，下一學年他們會上『數字繪畫先修課程』，為高中主要的『數字繪畫課程』 做好準備。因此，將來他們可以把在這裡所學的，應用到真實生活中的畫畫情境 ——刷子沾上塗料、刷塗等這類事項。當然我們會按照學生的能力為他們做規劃。真正優秀的畫家——徹底熟悉色彩及刷具的——他們可以稍微快一點進行真正的畫畫，其中有些人甚至可以去上大學學分的進階課程。但是大部分情形，我們只是嘗試給這些孩子繪畫的良好根基，因此當他們離開學校進入真實世界，為他們的廚房粉刷時，就不會弄得一團糟了。」

「嗯，你所說的那些高中課程......」

「你是說數字繪畫課嗎?我們看到修課的人數近年來增加了不少。我認為大部分是因為父母希望他們的孩子能夠進入好的大學。高中成績單上有進階數字繪畫課是很吃香的。」

「為什麼大學會在意學生能否在標明數字的區塊上塗色呢?」

「喔，你知道的，這代表學生有邏輯性思考的清楚腦袋。當然，如果學生打算主修視覺科學的科系，例如時尚或是室內裝潢，那麼在高中就拿到繪畫學分，會是很好的安排。」

「原來如此。那麼學生們什麼時候才會開始在空白的畫布上自由作畫呢?」

「你說的話真像我的一位大學老師！他們總是說些表達自我、感情這一類的東西——完全是脫離現實的抽象東西。我自己擁有繪畫學位，但是我從未真正的在空白的畫布上作畫。我用的是學校當局提供的數字繪畫工具。」

可悲的是，我們數學教育目前的制度正好就是這樣的噩夢。事實上，如果我必須設計一套制度來「摧毀」孩子們對於「創造模式」與生俱來的好奇心，我不可能比現行的制度做的更好——我就是無法想像出構成當前數學教育的這種毫無意義、壓迫心靈的方法。 大家都知道這個制度有問題。

政治家說「我們需要更高的標準」;學校則說「我們需要更多經費和設備」；教育家有一套說法。而教師們又有另一套說法。他們通通都錯了。唯一了解問題所在的是那些最常被責備，但是又最被忽略的人——學生。他們說「數學課愚蠢又無趣」，他們說對了。

1.2 數學與文化

首先我們要了解，數學是一門藝術。數學和其它類型的藝術如音樂和繪畫的差別只在於，我們的文化不認同數學是一門藝術。每個人都了解，詩人、畫家、音樂家創造出藝術作品，以文字、圖像及聲音來表達自我。事實上，我們社會對創造性的表達是相當大方的，建築師、廚師、甚至電視導播都被認為是職業上的藝術家。那麼，為何數學家不是呢?

這個問題，有一部分原因出在，沒有人知道數學家到底在做些什麼。社會上的普遍認知似乎是，數學 家和科學是有關聯的——也許是因為數學家提供給科學家一些公式和定理，或者協助將一大堆數字輸入電腦。如果這個世界必須要分成「詩意夢想家」和「理 性思考家」兩部分，毫無疑問，絕大多數人會把數學家放在後面那一類。

然而，事實上，沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣激進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文 學或物理學很震撼人心，在這一點上，數學完全一樣(在天文學家發現黑洞之前，數學家老早就有黑洞的構想了)，而且數學還比詩、美術或音樂容許更多的表 達自由，後者高度依賴這個世界的物理特質。數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。

因此讓我試著解釋數學是什麼，以及數學家做些 什麼。我以哈代(G. H. Hardy，英國數學家，1877— 1947)絕佳的敘述作為開場:

一位數學家，就像一位畫家或詩人，是模式(pattern)的創造者。如果他的模式 比畫家或詩人的模式能留存得更久，那是因為這些模式是用理念(ideas)創造出來 的。

----哈代

所有數學家的工作是做出理念的模式。什麼樣的模式?什麼樣的理念?是關於犀牛的理念嗎?不是的，那些留給生物學家吧。是關於語言和文化的理念嗎?不通常不是這些對大部分數學家的審美觀而言，都太複雜了。如果數學有一個統一的美學原則的話，那將是:簡單就是美。數學家喜歡思考最簡單的可能性，而這種最簡單的可能性是想像的，不見得是現實存在的。

例如，如果現在我在思考形狀——這是我常常做的——我可能會想像在長方形中有一個三角形:

我想知道，這個三角形佔據了長方形多少的空間？三份之二嗎？重要的是要了解，我現在探討的不是長方形內有三角形的這幅畫。我探討的，也不是一座組成橋樑上樑柱架構的那些金屬三角形。在此，並沒有那些深謀遠慮的實用目的存在。我純粹就是在玩。這就是數學——想知道(wondering)、遊戲(playing)、用自己的想像力來娛樂(amusing)自己。

首先，三角形在長方形中佔據了多少空間，甚至沒有任何真實、實體上的目的。即使是最謹慎小心製造出來的實體三角形，仍然是不斷震動的原子所組成的;它的形狀每分鐘都在改變。也就是說，除非你要探討「近似」(approximate)的度量。好了，這裡就會牽扯到數學的「美學」了。因為那樣就不單純了，它成為一個仰賴真實世界各式各樣細節的醜陋問題了。那些留給科學家去解決吧。

數學提出的問題是，在一個想像的長方形中那一個想像的三角形。它的形狀邊緣很完美，因為我要它們很完美——這就是我喜歡思考的問題類型。這就是數學的一個主要特徵：你想要它是什麼樣，它就是什麼樣。你有無限多的選項；沒有真實世界來擋路。

另一個方面，一旦你做了選擇(例如，我可能選擇我的三角形是對稱的，或不是對稱的)，然後，你這個新創造就會自行發展下去，不管你是否喜歡它的後續發展。這就是創造想像的模式時有趣的地方:它們會回應！這個三角形在長方形中佔據了某個空間比例，而我完全無法控制這個比例為何。這個數字就擺在那裡，可能是三分之二，可能不是，但可不是我說了就算。我必須找出這個數字。

因此，我們可以玩玩看，想像一下我們要什麼，然後做出模式，再對這套模式提出問題。但是我們要如何解答這些問題呢？這一點都不像科學，我沒辦法用試管、設備或是任何東西做實驗來告訴我，我想像出來的虛擬物的真相。能得知我們想像物的真相的唯一方法，就是運用我們的想像力，然而。這是件艱苦的差事。

在這個例子中，我的確看到了簡單又美妙的地方:

如果我把長方形像上面那樣切成兩個部分，我可以看到這兩個部分都被三角形的斜邊斜切成一半，所以三角形裡面和外面的空間是相等的。也就是說，這個三角形一定是正好佔了長方形的一半：

（馬同學：其實，哪怕三角形的頂點不在長方形內，只要在邊長所在直線上，面積依然是長方形的一半：

這又怎麼證明呢？）

這就是數學的外貌和感覺。數學家的藝術就像這樣：對於我們想像的創造物提出簡單而直接的問題，然後製作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事務能達到如此純粹的概念世界；令人著迷、充滿趣味，而且不花半毛錢!

你也許要問了，我的這個想法又是從何而來的？我怎麼知道要畫那條輔助線?那我要問你了，畫家又是怎麼知道要在哪裡畫上一筆？靈感、經驗、嘗試錯誤、運氣。這就是藝術，創造出那些思想的美麗小詩，創造出那些純粹理性的詩篇。這個藝術形態有著某種 東西，能做如此神奇的轉變。三角形和長方形之間的關係原本是個謎，然後那條小小的輔助線讓謎底浮現出來。我本來看不出來的，突然間我就看見了。然而，我能夠從「無」當中創造出全然簡單的美麗，並且在這個過程當中改變了我自己。這不正是藝術嗎?

這就是為什麼看到現在學校里的數學教育會讓人如此痛心。這麼豐富且迷人的想像力探索過程，卻一直遭到貶抑，淪落成一套要硬背死記、毫無生氣的「事實」(facts)，以及必須遵循的演算程序。關於「形狀」的一個簡單而自然的問題，一個富創造性和收穫的發明與發現的過程，卻被取代為三角形面積公式：

「三角形面積等於底乘以高的一半」，學生被要求要死背這個公式，然後在「習題」中反覆「應用」。興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折，全都消磨殆盡了。再也沒有任何「困難」了。問題在提出來時也同時被解答了——學生沒事可做。

現在，讓我說清楚我到底在反對什麼。不是公式，也不是背記一些有趣的事實。在某種情境下，這是可以的，就像學習字彙必須要記憶一樣——這可以幫助我們創造更豐富、更微妙的藝術作品。但是，三角形是長方形面積的一半，這個「事實」並不重要。重要的是，以輔助線來切割的這個巧妙構思，以及這個構思可能激發出其他美妙的構思，進而引導出在其他問題 上的創造性突破——光是事實的陳述絕不可能給你這些的。

拿掉了創造性的過程。只留下過程的結果，保證沒有人能真正全心全意投入這個科目。這就像是「說」 米開朗基羅創造了美麗的雕塑卻不讓我「看」它。我要如何受到激發而產生靈感?(當然實際上還更糟——至少我還知道有一個雕塑藝術存在，只是不讓我去欣賞它。)

由於將焦點集中在「什麼」，排除掉「為什麼」，數學被降格為一個空殼子。數學不是在「真相」里，而是在說明、論證之中。論證的本身賦予真相一個情境，並確認到底我們在談論什麼、其意義何在。數學是說明的藝術。如果你不讓學生有機會參與這項活動——提出自己的問題、自己猜測與發現、嘗試錯誤、經歷創造性的挫折、產生靈感、拼湊 出他們的解釋和證明——你就是不讓他們學習數學。

所以，我不是在抱怨我們數學課堂上出現的事實與公式，我抱怨的是我們的數學課里沒有數學。

2 鼓舞

下面的內容因為版權原因我就不貼出了，稍微介紹一下。

如果 L 只寫了上面的內容，那麼就屬於吐槽。然後 L 教授並非是一個吐槽的人，從他自我「下放」到布魯克林區去實踐初等教育就可以看出確實希望能夠提供一些解決方案。

書的「鼓舞」部分給出了一些實踐案例。更多的實踐案例可以去參看他的新書《度量--一首獻給數學的情歌》。而我們，馬同學也想參與這種實踐，為數學貢獻一份綿薄之力，讓大家真正愛上數學。

下面是台灣版的《這才是數學》的介紹視頻，也就是大陸版的《度量--一首獻給數學的情歌》：

大家也可以關注我們的微信公眾號：「馬同學高等數學」，回復「嘆息」，得到《一個數學家的嘆息》更為完整的、公開的25頁的初稿。

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