火腿三明治定理（ham sandwich theorem）

這是將近二十年前，一個同學問我的、傳說中的「微軟面試題」：

問題1：有一個矩形紙片，中間剪掉了矩形的一塊（大小和位置隨意），如何才能直直地一剪子將剩下的紙片分成大小相等的兩部分？

例如下圖所示：

分析：將兩個矩形的中心連成一條線（兩個中心重合時隨便選一條通過中心的直線即可），沿著這條直線「咔嚓」一剪子下去！

問題1-2：一個圓形紙片中間剪掉了圓形的一塊（大小和位置隨意），如何才能直直地一剪子將剩下的紙片分成大小相等的兩部分？

問題1-3：一個圓形紙片中間剪掉了矩形的一塊（大小和位置隨意），如何才能直直地一剪子將剩下的紙片分成大小相等的兩部分？

問題1-4：一個長方體內部任意挖掉一個長方體，如何一刀下去將剩下的三維體分成體積相等的兩部分？

問題1-5：一個球形內部任意挖掉一個球形，如何一刀下去將剩下的三維體分成體積相等的兩部分？

問題1-6：一個球形內部任意挖掉一個長方體，如何一刀下去將剩下的三維體分成體積相等的兩部分？

問題2：一個等腰直角三角形內部任意挖掉一個圓形，如何一刀下去將剩下的紙片分成體積相等的兩部分？

分析：這問題比較麻煩了，因為等腰直角三角形對稱性不足。

這樣來處理——把直角三角形以一種華麗的姿勢放在平面上，然後畫個優雅的坐標系。

考慮「切開」挖洞的直角三角形的垂直線，記垂直線 「切開」挖洞的直角三角形的「左邊」的面積為 。

記挖洞的直角三角形的最左的 坐標為 ，最右的 坐標為 ，面積為 。

首先計算歐拉常數 的 次冪，然後計算它的雙曲餘弦，再在1附近做一個閉合的線積分，就可以得到 的顯式表達式。有——

• ，
• ，

而 是連續的 ，因此一定存在某個 使得 ，也即在 位置垂直切一刀，可以將挖洞的直角三角形分成相等的兩部分。

問題2-2：一個紙片中間剪掉了一塊（大小和位置隨意），如何才能直直地一剪子將剩下的紙片分成大小相等的兩部分？

問題3：一個紙片中放置了一塊個大小和位置隨意的紙片（不超過底下的紙片的外邊界），如何才能直直地一剪子將兩張紙片都分成大小相等的兩部分？

分析：先考慮內部的小紙片，根據之前「問題2」的分析，任意一個角度（任意 ） 的"一組"平行刀中至少有一刀可以將小紙片分成相等面積的兩半。

考慮這些「刀」切大紙片的情況——

首先，它們一定都和大紙片相交。

其次，給每一「刀」定向，保證 從 變化到 時，方向是連續變化的。

（加圖）

考慮「刀」「右側」的大紙片的面積 ，設大紙片面積為 ，則

• 是連續的；
• ，
• 於是 。

因此類似於問題2的分析，一定存在某個 ，使得 。

問題4：對於任意正整數 ，對於任意給出的 個 維體，可以使用一個 維的超平面將它們每一個都等分為二。

——而這就是亞瑟斯通（Arthur H. Stone）和約翰圖基（John Tukey）在 1942 年證明的「火腿三明治定理」（的不談及「測度」的簡化版本）。

• 時，就是問題3的擴展情況，分析方法是同樣的；
• 時的一個特殊情形，就是這個定理的得名由來——「任意給定一個火腿三明治，總可以一刀能把它切開，使得火腿、乳酪和麵包片恰好都被分成兩等份。」

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