【量子場論】經典場論與二次量子化

01-29

本章包含以下內容：

經典場論的總結

Lagrange形式
Hamilton形式
Noether定理與Noether流

二次量子化的理論

Schrodinger場的量子化
全同粒子的量子統計與Fock空間
產生湮滅算符的構造
二次量子化的基本總結

一、經典場論的總結

1.Lagrange形式與Hamilton形式

本節我們給出量子場論中普遍構造動力學模型的基本程序，即從Lagrangian出發，構造粒子體系的場論模型。Lagrange作用量原理的兩個重要結果是場的運動方程Euler-Lagrange方程與Noether定理。此外，Hamilton力學也是經典場論的重要組成部分，Hamilton力學的核心是Hamilton正則方程，其等價表示Possion括弧常用來表示量子場論中的正則量子化。

1.1 Lagrange形式

我們用場量 $phi(mathbf{x},t)$ 標記一個場，它被視作場的廣義坐標；一般來說，系統的Lagrangian有以下形式：

$L(t)=int d^3x mathscr{L}(phi,partial_mu phi)$ ;

其中 $L(t)$ 稱為Lagrange函數， $mathscr{L}(phi,partial_mu phi)$ 成為Lagrangian密度，其是場量 $phi$ 與其微商 $partial_mu phi$ 的函數。

系統的作用量 $S$ 是Lagrangian關於時間的積分，

$S=dfrac{1}{c}int d^4x mathscr{L}(phi,partial_mu phi)$ ;

注意系統的Lagrangian與作用量都是場量 $phi$ 與其微商 $partial_mu phi$ 的函數，並不直接依賴於時空坐標 $x^mu$ ，注意到 $d^4x$ 是時空的體積元，在Lorentz變換下不變，而作用量 $S$ 是Lorentz不變數，所以 $mathscr{L}$ 應當是一個標量。

Hamilton原理向我們揭示出，一個真實的物理系統，其運動應當滿足作用量的變分原理，即

$delta S=0$ ;

我們討論作用量的變分 $delta S$ ，

假設坐標的改變為 $x^mu to {x^{mu}} =x^mu+delta x^mu$ ;

則體積元的變換為 $d^4 x^mu to d^4 {x^{mu}} =J d^4 x^mu$ ;

其中 $J=det(dfrac{partial {x^mu}}{partial x^nu})=det({g^mu_nu}+partial_nu delta x^mu)approx 1+partial_mu delta x^mu$ ;

同時，場量 $phi$ 與Lagrangian密度 $mathscr{L}$ 按照如下方式變換

$phi(x) to phi(x)=phi(x)+deltaphi(x)$ ;

$mathscr{L}(x) to mathscr{L}(x)=mathscr{L}(x)+deltamathscr{L}(x)$ ;

我們記 $overline{delta}$ 為坐標不變時，僅依賴於場量形式的變分，

$overline{delta} phi(x)=phi(x)-phi(x)$ , $overline{delta} partial_mu phi=partial_mu phi(x)-partial_mu phi(x)$ ;

注意到

$deltamathscr{L}(x)= mathscr{L}(x)-mathscr{L}(x) =mathscr{L}(x)-mathscr{L}(x)+mathscr{L}(x)-mathscr{L}(x)$ ；

就可以將其記作：

$deltamathscr{L}(x) approx overline{delta}mathscr{L}(x)+partial_mu mathscr{L}(x) delta x^mu$ ;

經過一些推導，就可以得到

$delta S=dfrac{1}{c}int d^4 x [(dfrac{partial mathscr{L}}{partial phi}-partial_mudfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_muphi})overline{delta}phi+partial_mu(dfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_muphi}overline{delta}phi+mathscr{L}delta x^mu)]$ 。

我們的討論，將圍繞這個式子展開。

假定坐標沒有改變即 $delta x^{mu}=0$ ，只考慮場量的變分，作用量取極值的條件為：

$dfrac{partial mathscr{L}}{partial phi}-partial_mudfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_muphi}=0$ ，

稱為Euler-Lagrange方程，是場的運動方程。

1.2 Hamilton形式

按照經典力學的操作，定義於場變數 $phi(mathbf{x},t)$ 共軛的正則動量為

$pi=dfrac{partial mathscr{L}}{partial dot{phi}}$ ;

則Hamiltonian的定義為

$H=int d^3 x pi(mathbf{x},t) dot{phi}(mathbf{x},t) -L =int d^3x mathscr{H}$ ;

其中 $mathscr{H}=pi dot{phi}-mathscr{L}$ ，稱為Hamiltonian密度。同時，可以給出Hamilton正則方程：

$dot{pi}=-dfrac{partial mathscr{H}}{partial phi},dot{phi}=dfrac{partial mathscr{H}}{partial pi}$ ;

其與Euler-Lagrange方程是等價的，一般來說，由於廣義動量的定義中出現了時間的一階導數，導致實際上時間和空間不是平權的，不容易看出相對論的協變性，所以場論中我們通常用到的都是Lagrange形式。

1.3 Noether定理與Noether流

考慮場量 $phi(mathbf{x},t)$ 是運動方程的解，則作用量變分 $delta S$ 滿足：

$delta S=dfrac{1}{c}int d^4 x partial_mu j^mu$ ；

其中 $j^mu=(dfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_muphi}overline{delta}phi+mathscr{L}delta x^mu)$ ,我們稱之為Noether流。

Noether在1918年得到了重要結論：

若場的一個連續變換 $phi(x)tophi(x)$ 保持作用量 $S$ 不變，則存在一個與此變換相應的守恆流 $j^mu$ 使得滿足

$partial_mu j^mu=0$

這被稱之為Neother定理。

事實上，由於 $overline{delta} phi(x)=phi(x)-phi(x)=[phi(x)-phi(x)]-[phi(x)-phi(x)]approx delta phi -partial_nu phi delta x^nu$ ;

$j^mu=dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_mu phi} deltaphi -(dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_mu phi}partial_nu phi-mathscr{L}g^mu_nu)delta x^nu$ ;

注意到上述式子中 $delta phi$ 、 $delta x^mu$ 已經不是任意的變分，而是保持Euler-Lagrange方程不變情況下的，一般的來說第一項與旋轉與boost有關，第二項與時空的平移有關，我們將在討論Lorentz群的部分進行詳細的討論。

對於守恆流 $j^mu(x)$ 在全空間中積分，

$int d^3 x dfrac{partial}{cpartial t} j^0(x)+ int d^3 x nabla cdot mathbf{j} =0$ ;

利用Gauss定理，將第二項換成在無限遠處的面積分，則這一部分趨近於零，我們得到了一個守恆荷

$Q=int d^3 x j^0(x)$ ;

作為一個典型，我們考察四維時空的平移不變性，則我們得到的守恆流是我們很熟悉的能量-動量張量

$T^mu_nu=dfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_mu phi}partial_nu phi-g^mu_nu mathscr{L}$ ;

Noether定理的另外一種典型的例子是所謂的 $U(1)$ 整體規範不變，首先我們簡單的引入幺正群 $U(n)$ ,又叫酉群，是李群的一種。在群論中， $n$ 階酉群（unitary group）是 $n×n$ 酉陣組成的群。酉群記作 $U(n)$ ，是一般線性群 $GL(n, C)$ 的一個子群。

以復Klein-Gordon場為例，其Lagrangian具有形式

$mathscr{L}=partial^mu phi^* partial_mu phi-m^2phi^2$

$U(1)$ 整體規範不變保證了在做下列規範變換時，系統的Lagrangian不變

$phi to phi=e^{iq}phi$ ;

$delta mathscr{L}=iqpartial_mu[phi^*partial^mu phi-(partial^muphi^*)phi]$ ;

於是可以構造

$j^mu=iq[phi^*partial^mu phi-(partial^muphi^*)phi]$

與之對應的是一個守恆荷 $Q$ ，如果我們將其理解為電荷，那麼這個復Klein-Gordon場則可以描述攜帶電荷的標量粒子。這種做法也可以用於描述電子的Dirac場上去，這就是我們理解電子攜帶電荷的機制。

二、二次量子化的理論

2.1 Schrodinger場的量子化

我們考慮一個毫不矯揉造作的Lagrangian，它所對應的場的運動方程就是Schrodinger方程，因此我們將其稱為Schrodinger場。

$mathscr{L}=ipsi^*dfrac{partial psi}{partial t}-dfrac{(nablapsi^*)cdot (nablapsi)}{2m}$

為了方便起見，此後我們選取 $hbar=1$ ;

根據Euler-Lagrange方程，我們有

$partial_mudfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_mu psi}-dfrac{partial mathscr{L}}{partialpsi}=0$ ;

$partial_0dfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_0 psi}+partial_idfrac{partial mathscr{L}}{partialpartial_i psi}-dfrac{partial mathscr{L}}{partialpsi}=0$ ;

$idfrac{partialpsi^*}{partial t}-dfrac{partial^i partial_i psi^*}{2m}=0to idfrac{partialpsi^*}{partial t}=dfrac{partial^i partial_i psi^*}{2m}$ ;

同理有 $idfrac{partialpsi}{partial t}=-dfrac{partial^i partial_i psi}{2m}$

這就是我們心心念念的Schrodinger方程及其復共軛。

通過Fourier變換，我們能很輕易的獲得波函數的通解

$psi(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} a(vec{k})e^{ivec{k}cdotvec{x}-iomega_k t}$ ,其中 $omega_k=dfrac{vec{k}^2}{2m}$ ;

根據廣義動量的定義

$pi(mathbf{x},t)=dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_0psi}=ipsi^*$ ;

且有 $pi^*(mathbf{x},t)=dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_0psi^*}=0$ ;

按照前述Hamiltonian密度的定義

$mathscr{H}=pi dot{phi}-mathscr{L}$ ;

$mathscr{H}=dfrac{(nablapsi^*)cdot (nablapsi)}{2m}$ ;

將通解 $psi(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} a(vec{k})e^{ivec{k}cdotvec{x}-iomega_k t}$ 帶入上式，得到Hamiltonian密度的表達式

$mathscr{H}=intdfrac{d^3vec{k}_1}{(2pi)^3}dfrac{d^3vec{k}_2}{(2pi)^3}dfrac{vec{k}_1vec{k}_2}{2m}a^*_2(vec{k}_2)a_1(vec{k}_1)e^{i(vec{k}_2cdotvec{x}_2-vec{k}_1cdotvec{x}_1)-i(omega_2-omega_1) t}$ ;

又考慮到系統的Hamilton函數 $H=int d^3 vec{x} mathscr{H}$ ,先把空間部分積分了，就得到

$H=int dfrac{d^3 vec{k}}{(2pi)^3} omega_k a^*(k)a(k)$ ;

其中利用了Dirac函數的定義 $int d^3 vec{x} e^{ivec{k}cdot vec{x}}=(2pi)^3 delta^3(vec{x})$ ;

此處我們可以對Schrodinger Field的 $U(1)$ 全局規範不變做一些討論。

做變換 $psi(mathbf{x},t) to e^{itheta}psi(mathbf{x},t) psi^*(mathbf{x},t) to e^{-itheta} psi^*(mathbf{x},t)$ ;

考慮

$delta psi=e^{itheta}psi(mathbf{x},t)-psi(mathbf{x},t) approx itheta psi(mathbf{x},t)$

$delta psi^*=e^{-itheta}psi^*(mathbf{x},t)-psi^*(mathbf{x},t) approx -itheta psi^*(mathbf{x},t)$ ;

對於Noether流 $j^mu=(j^0,vec{j})$

$j^0=dfrac{partial mathscr{L}}{partial(partial partial_0 psi)}delta psi +dfrac{partial mathscr{L}}{partial(partial partial_0 psi^*)}delta psi ^*=-itheta psi^*psi$ ;

$j^i=dfrac{partial mathscr{L}}{partial(partial partial_i psi)}delta psi +dfrac{partial mathscr{L}}{partial(partial partial_i psi^*)}delta psi ^*=itheta dfrac{i[psi^* nablapsi-psi nablapsi^*]}{2m}$ ;

其中除去荷 $itheta$ 的部分， $dfrac{i[psi^* nablapsi-psi nablapsi^*]}{2m}$ 一般稱之為概率流密度矢量，

按照Noether定理，我們存在著關於phase( $theta$ )的守恆荷

$N=int d^3 x j^0=int d^3x psi^*(mathbf{x},t)psi(mathbf{x},t)$ ;

或者帶入 $psi(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} a(vec{k})e^{ivec{k}cdotvec{x}-iomega_k t}$ ， $psi^*(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} a^*(vec{k})e^{-ivec{k}cdotvec{x}+iomega_k t}$ ;

得到 $N=int dfrac{d^3 vec{k}}{(2pi)^3} a^*(vec{k})a(vec{k})$ ，我們稱之為粒子數算符、據位數算符或聲子數算符。

其滿足 $dfrac{dN}{dt}=0$ 。

正常的量子框架應當包含三部分，系統的Lagrangian、量子化條件和統計詮釋，既然我們得到了Schrodinger Field的Lagrangian。接下來我們來討論它的量子化條件，在下一章，我們將集中精力討論路徑積分量子化以及Wigner表象，在這裡，仿照Heisenberg最早給出的正則量子化規則，我們引入所謂的「二次量子化」。

在經典力學當中，我們從Hamilton正則方程出發，很自然的得到所謂Possion括弧，這一套優美的理論隨後為Dirac應用在量子力學中，又被稱之為Dirac括弧。按照Heisenberg和Dirac所表述的這套量子力學理論，常被稱之為正則量子化。

對於經典場，定義廣義動量 $p_i=dfrac{partial L}{partial dot{q}_i}$

則量子化條件表述為

$[q_i,p_i]=idelta_{ij}$

這種量子化稱為一次量子化，是對可觀測量算符的量子化。

根據一些觀點，二次量子化的規則一共有兩條：

將普通場量函數替換為非對易的場算符（作用在二次量子化後系統的狀態空間上),即

$psi(mathbf{x},t) to hat{psi}(mathbf{x},t)$ , $pi(mathbf{x},t) to hat{pi}(mathbf{x},t)$ ,且滿足正則對易關係

$[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{pi}(mathbf{x},t)]=idelta^3(mathbf{x}-mathbf{x})$

以及 $[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{psi}(mathbf{x},t)]=0$ ， $[hat{pi}(mathbf{x},t) ,hat{pi}(mathbf{x},t)]=0$ ；

注意這種量子化中的操作只出現同一時間 $t$ ，我們將其稱為等時正則對易關係。

維持原來「經典」場方程形式不變，只將其中（普通函數性質)的場量 $psi(mathbf{x},t)$ 替換成場算符 $hat{psi}(mathbf{x},t)$ 所以，二次量子化後的量子場方程和原先單粒子方程形式完全相同。於是有

$idfrac{partialhat{psi}}{partial t}=-dfrac{partial^i partial_i hat{psi}}{2m}$ ,

第二條規定場算符作為時空函數的解析性質。

按照我們的想法，Schrodinger場的二次量子化將導致如下的結論

$[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{pi}(mathbf{x},t)]=idelta^3(mathbf{x}-mathbf{x})$

與廣義動量 $hat{pi}(mathbf{x},t)=dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_0psi}=ihat{psi^*}$ 對比知，應有下列關係成立：

$[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{psi}^*(mathbf{x},t)]=delta^3(mathbf{x}-mathbf{x})$ ;

以及 $[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{psi}(mathbf{x},t)]=0,[hat{pi}(mathbf{x},t) ,hat{pi}(mathbf{x},t)]=0$

將導致 $[hat{psi}(mathbf{x},t) ,hat{psi}(mathbf{x},t)]=[hat{psi}^*(mathbf{x},t) ,hat{psi}^*(mathbf{x},t)]=0$

但是呢，我們前面證明了

$pi^*(mathbf{x},t)=dfrac{partial mathscr{L}}{partial partial_0psi^*}=0$

這將導致一個看上去很令人無語的結論

$delta^3(mathbf{x}-mathbf{x})=[hat{psi}^*(mathbf{x},t) ,hat{pi}^*(mathbf{x},t)]=[hat{psi}^*(mathbf{x},t) ,0]=0$

這說明我們的Lagrangian寫的並非是絕對正確的（儘管它能導出正確的運動方程），我們將Lagrangian加上一項

$mathscr{L}=ipsi^*dfrac{partial psi}{partial t}-ipsidfrac{partial psi^*}{partial t}-dfrac{(nablapsi^*)cdot (nablapsi)}{2m}$

就能避免上述的悖論，我們稱這是可二次量子化的Schrodinger Field Lagrangian，它使得Schrodinger場及其共軛的所有等時對易關係成立。

現在我們引入了一個我們並沒有解釋的算符 $hat{a}(k)$ ,它與它的Hermite共軛 $hat{a}^dagger (k)$ 在一般的初等量子力學中一般都會引入，稱之為升階算符和降階算符，而在場論中常稱為產生算符和湮滅算符，現在我們來看看它的性質,首先，從Fourier變換出發，我們有

$hat{a}(k)(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} hat{psi}(mathbf{x},t)e^{-(ivec{k}cdotvec{x}-iomega_k t)}$ ;

$hat{a}^*(k)(mathbf{x},t)=intdfrac{d^3vec{k}}{(2pi)^3} hat{psi}^*(mathbf{x},t)e^{(ivec{k}cdotvec{x}-iomega_k t)}$ ;

$[a(vec{k}_1),a^*(vec{k}_2)]=int d^3 x_1 d^3 x_2 e^{-(ivec{k}_1cdotvec{x}_1-iomega_1 t)}e^{(ivec{k}_2cdotvec{x}_2-iomega_2 t)}[hat{psi}(mathbf{x}_1,t) ,hat{psi}^*(mathbf{x}_2,t)]$

經過必要的化簡，我們得到

$[a(vec{k}_1),a^*(vec{k}_2)]= int d^3 x e^{i(omega_1-omega_2)t-(vec{k}_1-vec{k}_2)cdot vec{x}}$

顯然的，利用Dirac函數的定義以及能動量關係，我們得到

$[a(vec{k}_1),a^*(vec{k}_2)]=(2pi)^3 delta(vec{k}_1-vec{k}_2)$

同理能夠得到， $[a(vec{k}_1),a(vec{k}_2)]=[a^*(vec{k}_1),a^*(vec{k}_2)]=0$

自此，我們得到了一個重要信息，自由場可以完全用一組升降階算符 $a(k),a^dagger(k)$ 來完備的描述 ,如同其他很多書，我們此後會省略許多符號上的信息。

接下來讓我們進入所謂的佔據數表象，這一過程實際上是要把我們的研究範圍從單粒子的Hilbert space拓展到多粒子（粒子數可變或未知）的Fock空間中，關於Fock空間的更多性質將在下一節詳細敘述。

如前述，我們可以定義所謂的「Number Density」，即所謂粒子數密度算符，

$mathscr{N}(k)=a^dagger(k)a(k)$ ;

考慮與產生湮滅算符之間的對易關係：

$[mathscr{N}(k),a(k)]=[a^dagger(k)a(k),a(k)]=-(2pi)^3delta(k-k)a(k)$ ;

$[mathscr{N}(k),a^dagger(k)]=[a^dagger(k)a(k),a^dagger(k)]=(2pi)^3delta(k-k)^dagger a(k)$ ;

同理可證

$[mathscr{N}(k),mathscr{N}(p)]=(2pi)^3delta(k-p)a^dagger(p)a(k)-(2pi)^3delta(k-p)a^dagger(p)a(k)=0$

我們可以重寫Hamiltonian

$H=intdfrac{d^3k}{(2pi)^3}omega_k a^{dagger}(k)a(k)=intdfrac{d^3k}{(2pi)^3}omega_kmathscr{N}(k)$ ;

以及居位數算符 $hat{N}$

$hat{N}=int dfrac{d^3k}{(2pi)^3}mathscr{N}(k)=int dfrac{d^3k}{(2pi)^3}a^dagger(k)a(k)$ ；

山園小梅

林和靖

眾芳搖落獨暄妍，佔盡風情向小園。

疏影橫斜水清淺，暗香浮動月黃昏。

霜禽欲下先偷眼，粉蝶如知合斷魂。

幸有微吟可相狎，不須檀板共金尊。