阿基米德如何證明球體體積公式？

請盡量簡潔

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設一圓柱豎直放立水平平面上，底面直徑等於高等於2r，中有一內切球，另有底面積為2r的頂點在圓柱上底中心的圓錐。圓錐底面與圓柱下底共面。

用兩兩相距極近的一組水平平面截這三個立體任取離圓錐頂為h的一片，它厚為Δh。把球上的那片和圓錐上的那片掛在支點在中點，全長為4r的槓桿的左端上，把柱上的那片掛在支點右側距支點h的點處。

我們可知道，當h足夠小時，三者相差無幾。

即

V球片≈Δh[πh﹙2r﹣h﹚]

V錐片≈Δhπh2

柱片體積為 V柱片=Δhπr2

設密度皆為1則球片與錐片形成的力矩的絕對值為

2r [πh﹙2r-h﹚＋πh2Δ]Δh=4πhΔhr2

上式右端正好有柱片的
力矩的絕對值 ，4為平衡係數。

若將一切碎片都如上掛在槓桿上，則左端的總力矩絕對值為

2r[V球＋V錐]

右端的總力矩的4倍為rV柱，而V柱形成的理據是質量集中在其重心，其力臂為重心到支點Oˊ的距離r。

即

2r[V球＋V錐]=4rV柱 ①

又已知V錐=8r3／3，V柱=2πr3,

代入①得

V球=4πr3／3

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阿基米德巧用槓桿原理稱出圓柱體，圓錐體和球體的體積

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關鍵字：槓桿原理 重心 質點 軸截面 窮竭法 左邊所有圓錐片和球片視作質點，右邊所有圓柱片先沿著力臂拼成一個 圓柱，再把圓柱質量歸於重心視為質點，有x=2r/2=r

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阿基米德對於球體積公式的認識和推導過程就是這樣，先用物理方法推導出了球體積公式，後來又用數學方法予以證明：

球體積公式的發現和證明_愛學術

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